Yleinen eksponenttifunktio

Kuten aikaisemmin on todettu, potenssifunktio on muotoa oleva funktio, jossa potenssina on rationaaliluku. Jos , on . Kaikki potenssifunktiot on määritelty positiivisille luvuille , mutta joillekin potensseille määrittelyt voi laajentaa negatiivisillekin luvuille (ks. Potenssi- ja juurifunktio sekä rationaalipotenssit).

Voisiko potenssifunktion määrittelyä laajentaa myös irrationaalisille potensseille ja siten yleisesti reaalilukupotensseille? Kyllä, käyttäen hyväksi sitä, että täydellisyysaksiooman mukaan reaaliluvut saadaan rationaalilukujen ylärajoina. Määrittely on seuraava.

Olkoon . Reaaliluvulle asetetaan, että

.

Määrittely on mielekäs siksi, että jos kokonaisluvulle , on joukko ylhäältä rajoitettu luvulla ja siten potenssin määrittelyssä esiintyvä supremum on olemassa. Näin määriteltyä funktiota ei enää sanota potenssifunktioksi, vaan yleiseksi tai tarkemmin -kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Se eroaa potenssifunktiosta siinä, että muuttujana ei ole kantaluku vaan potenssi.

Esimerkki 6.1.1.

Arvioidaan lukua . Koska sekä

ja ,

pätevät epäyhtälöt (mahdollisten pyöristysvirheiden takia saatuja arvioita on heikennetty). Siten kolmen desimaalin tarkkuudella. Arvioimalla lukua tarkemmin, saadaan potenssille tarkempia likiarvoja. Taskulaskin antaa likiarvoksi .

Kantaluvuille asetetaan, että

Tällöin pätee, että

Esimerkiksi

Opiskeluvideo: S4: Eksponenttifunktion arvioiminen murtopotensseilla

Seuraavassa määrittelemme erityisasemassa olevan eksponenttifunktion, "luonnollisen" eksponenttifunktion. Sitä varten tarvitsemme ensin sen erityisen kantaluvun määrittelyn.