Numeerinen ratkaiseminen ja Newtonin menetelmä

Numeerisessa ratkaisemisessa lähdetään yleensä jostain ratkaisun alkuarviosta, jota pyritään sitten askel askeleelta parantamaan. Näin saadaan likimääräisten ratkaisujen jono, jossa onnistuneessa tapauksessa joko tarkka ratkaisu tulee vastaan tai joka suppenee kohti tarkkaa ratkaisua.

Yksinkertaisimpia numeerisia menetelmiä nollakohdan etsimiseen on haarukointi: Etsitään ensin kaksi lähellä toisiaan olevaa pistettä, joissa funktio saa erimerkkiset arvot. Jos funktio on jatkuva näiden välillä, on tällä välillä nollakohta. Lasketaan funktion arvo välin puolivälissä. Tämä puolivälipiste on samalla seuraava likiarvo nollakohdaksi. Jos funktion arvo ei ole siinä nolla, valitaan uudeksi väliksi se, jossa merkki muuttuu ja sen puoliväli valitaan uudeksi nollakohdan likiarvoksi. Näin jatketaan, kunnes saadaan nollakohta tai sen likiarvo halutulla tarkkuudella.

Edistyneemmissä numeerisissa ratkaisumenetelmissä nollakohdan likiarvoa pyritään parantamaan nopeammin kuin haarukoinnissa. Hyvää arvausta paremman keinon antaa Newtonin menetelmä, jota kuvataan seuraavassa.

Oletetaan, että funktio on kahdesti derivoituva välillä ja päätearvot ja ovat erimerkkiset eli . Tällöin funktiolla tiedetään olevan nollakohdan välillä .

Valitaan yhtälön juurelle likiarvo väliltä . Pisteeseen piirretyn tangentin yhtälö on silloin muotoa

.

Sijoittamalla tähän yhtälöön saadaan tangentin ja −akselin leikkauspiste

ks. kuva 53.

Kuva 53.

Odotuksena on, ja tietyin edellytyksin myös pätee, että piste on lähempänä nollakohtaa kuin mitä piste oli. Samalla tavalla määrätään pisteeseen piirretyn tangentin avulla seuraava piste jne. Näin rekursiivisesti jatkamalla saadaan jono , missä

Tämän jonon termien laskemista sanotaan Newtonin menetelmäksi.

Lause 5.4.2.

Jos funktion derivaatta on jatkuva ja Newtonin menetelmän mukainen jono suppenee kohti jotain lukua, on tämä raja-arvo funktion nollakohta.

Todistus. Olkoon . Tällöin funktion ja sen derivaatan jatkuvuuden perusteella on

mistä seuraa, että .

On huomattava, että edellä oleva lause ilmaisee vain sen, että jos Newtonin menetelmä suppenee, se suppenee jotain nollakohtaa kohti. Se ei ilmaise mitään siitä, milloin tällaista suppenemista tapahtuisi. Newtonin menetelmän suppenemiselle voidaan kyllä johtaa joitakin yleisiä ehtoja. Seuraavassa on eräs, joka on siinä mielessä erityisen hyvä, että se antaa samalla arvion saadun likiarvon virheen suuruudesta. Todistus sivuutetaan.

Lause 5.4.3.

Oletetaan, että funktion toinen derivaatta on jatkuva sellaisella välillä , joka sisältää Newtonin menetelmän mukaisen jonon termit sekä funktion nollakohdan . Oletetaan lisäksi, että on olemassa positiiviset vakiot ja , joille

(1)   välillä ja

(2)   välillä .

Tällöin

(a)  

(b)  .

Lauseen ehdot (1) ja (2) vaativat, että funktion kuvaajan kaltevuus ei ole liian pieni eikä toisaalta muutu liian nopeasti. Jos , nähdään tuloksesta, että likiarvot suppenevat varsin nopeasti kohti nollakohtaa , varsinkin sen jälkeen, jos jollekin . Yleensä Newtonin menetelmässä nollakohdan likiarvossa oikeiden desimaalien määrää kaksinkertaistuu kullakin askeleella.

Esimerkki 5.4.4.

Etsitään yhtälön

positiiviselle ratkaisulle likiarvo (katso kuva 54).

Kuva 54.

Newtonin menetelmän soveltamista varten tarkastellaan erotusfunktiota . Sen derivaatta on . Käytetään funktion nollakohdalle alkuarvausta . Newtonin menetelmällä saadaan tämän jälkeen seuraavan taulukon mukaiset likiarvot.

Funktion nollakohdan eli yhtälön ratkaisun likiarvo on siten . Kokeile myös alkuarvauksia ja .

Esimerkin funktiolle pätee arvio , kun . Lisäksi , joten . Siten lauseen 5.4.3 oletukset ovat voimassa vakioin ja . Näin ollen on , joten Newtonin menetelmän suppeneminen on varsin nopeaa. (Rajaamalla lisää tarkasteluväliä voidaan suhdetta vielä pienentääkin.)

Opiskeluvideo: S3: Funktion nollakohdan arvioiminen Newtonin menetelmällä

Opiskelutehtävä 31. (Yhtälön ratkaisu numeerisesti)

Määritä yhtälön suuremman juuren likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella soveltamalla Newtonin menetelmää ja valitsemalla . Piirrä kuva kolmesta ensimmäisestä askeleesta.

Vinkki tehtävään 31