Raja-arvon määrääminen l'Hospitalin säännöllä

Kun esimerkiksi derivaatan arvoa määrätään erotusosamäärän avulla, joudutaan määräämään sellaisen osamäärän raja-arvo, jossa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvo on nolla. Tällaisia −tilanteita voi tietenkin tulla vastaan muissakin osamäärän raja-arvon määräämisissä. Jos tällaisessa tilanteessa sekä osoittaja että nimittäjä ovat derivoituvia funktioita, voidaan näitä approksimoida tangenttifunktioillaan ja tästä syystä osamäärän raja-arvo voidaan yrittää määrätä kyseisten funktioiden derivaattojen raja-arvojen avulla.

Lause 4.2.1. (l'Hospitalin sääntö)

Olkoot funktiot ja jatkuvia välillä ja derivoituvia vastaavalla avoimella välillä, ja olkoot ja välillä . Jos tällöin on olemassa raja-arvo

niin myös

Sääntö pätee vastaavasti myös vasemmanpuolisille raja-arvoille ja (molemminpuolisille) raja-arvoille.

Todistus. Annetaan pisteen lähestyä pistettä ja selvitetään, mitä kyseisille osamäärille tapahtuu. Lauseen oletuksin funktiot ja toteuttavat yleistetyn differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset. Lisäksi , koska ja derivaatta ei ole nolla missään pisteessä. Siten on olemassa piste , jolle

Kun , niin myös . Tämä huomioimalla seuraa edellisestä lausekkeesta oikeanpuoleisia raja-arvoja koskeva väite.

Esimerkki 4.2.2.

Määrätään uudestaan jo aikaisemmin esimerkissä 2.2.5 määrätty raja-arvo

Tässä funktiot ja ovat kaikkialla jatkuvia ja derivoituvia sekä . Lisäksi . l'Hospitalin sääntöä voidaan siten soveltaa ja sen mukaan

l'Hospitalin säännöllä on useita sellaisia muunnelmia, joita voidaan käyttää epäoleellisten raja-arvojen määräämiseen. Yksi tällainen on seuraava.

Lause 4.2.3. (l'Hospitalin sääntö, 2. versio)

Oletetaan, että on olemassa luku siten, että funktiot ja ovat derivoituvia ja , kun . Jos tällöin

tai

ja

niin myös

Esimerkki 4.2.4.

Määrätään raja-arvo

(joka on epämääräistä muotoa ). Ottamalla lausekkeessa tekijäksi muuttuja muutetaan lauseke osamäärämuotoon

Saadun lausekkeen osoittaja ja nimittäjä toteuttavat nyt edellisen lauseen ehdot. Koska tässä

ja

saadaan l'Hospitalin säännön 2. version mukaan

Opiskelutehtävä 23. (Raja-arvon laskeminen l´Hospitalin säännöllä)

Tutki lausekkeen

toispuoleisia raja-arvoja pisteessä käyttäen l'Hospitalin sääntöä.

Vinkki tehtävään 23

Opiskeluvideo: D8: Raja-arvon ratkaiseminen l'Hospitalin säännöllä