Virheenarviointi

Sekä funktion differentiaalikehitelmää että väliarvolausetta voidaan käyttää virheenarviointiin. Oletetaan, että funktion arvoa laskettaessa tarkan arvon sijasta käytetään likiarvoa , jolloin virhe on siis . Tällöin funktion arvoon aiheutuu virhe .

Jos funktio on derivoituva pisteessä , saadaan sen differentiaalikehitelmästä, että

.

Tästä saadaan (pienille virheille ) tuttu tangenttiarvio

.

Mikäli , saadaan funktion arvolle virhearvio

.

Esimerkki 4.2.5.

Arvioidaan arvoa käyttäen hyväksi tunnettua arvoa . Funktio on derivoituva ja . Koska (rad) ja

saadaan arvio

pisteen lähellä. Koska edelleen (huomaa, että kulmayksikkönä on käytettävä nyt radiaaneja)

saadaan arvio

Taskulaskin antaa likiarvon 0,469472.

Väliarvolausetta voidaan puolestaan käyttää virheenarviointiin seuraavasti. Oletetaan, että funktio on derivoituva pisteen tarkasteluympäristössä. Väliarvolauseen mukaan pätee nyt, että

jollekin . Oletetaan, että derivaatalle on tiedossa jokin yläraja, ts. olkoon jollakin pisteet ja sisältävällä välillä . Tällöin saadaan virhearvio

.

Esimerkki 4.2.6.

Selvitetään, kuinka suuri virhe tehdään, kun luku lasketaan käyttäen piin likiarvoa (kun tarkempi piin likiarvo on ).

Käytetään funktiota , jolle . Koska , pätee tällä välillä arvio

Siten saadaan virhearvio

Kun , niin on saatu rajat (kun piitä on arvioitu alaspäin, tulee arvioitua ylhäältä päin).

Opiskelutehtävä 24. (Virheenarviointi)

Mitattaessa kuutiota, jonka särmän pituus on 10 m, voidaan tehdä korkeintaan 0,1 m virhe.

(a)  Arvioi kuution pinta-alan virhettä differentiaalin avulla.

(b)  Arvioi differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla kuinka suuri kuution pinta-alan virhe voi korkeintaan olla.

(c)  Kuinka suuri pinta-alan virhe voi korkeintaan olla (tarkka arvo).

Vinkki tehtävään 24