III.2.  Laskutoimitukset

Oletetaan, että taskulaskin näyttää kymmenen numeroa. Lasketaan sillä seuraavia potensseja:

, , , .

Huomataan, että luvussa on 13 numeroa, mutta laskin ei näytä niistä kuin kymmenen ensimmäistä. Mitkä olisivat puuttuvat kolme numeroa, ja voisiko ne kuitenkin jotenkin laskea laskimella?

Jätetäänpä luvusta tuhannet pois eli otetaan vain sen kolme viimeistä numeroa käyttöön ja lasketaan sen potensseja:

, , .

Vertaamalla tuloksia edellisiin tuloksiin nähdään, että lukujen ja kolme viimeistä numeroa yhtyvät, samoin lukujen ja . Olisivatko myös luvun kolme viimeistä numeroa samat kuin luvun ? Jos olisivat, niin miksi?

Koska , riittäisi ilmeisesti perustella, miksi olisi voimassa myös , ja . Pitäisi siis selvittää, milloin kongruenssiyhtälön toisella puolella tehty laskutoimitus voidaan toistaa myös toisella puolella ja saada uusi paikkansa pitävä yhtälö.

Tarkastellaan yleisesti kongruenssin muuttumista lukujen yhteen- ja kertolaskuissa. Olkoot sitä varten

ja verrataan keskenään vasemmanpuoleisten lukujen summaa ja tuloa oikeanpuoleisten lukujen summaan ja tuloon. Oletuksen mukaan on ja joillekin kokonaisluvuille ja . Tällöin saadaan summien erotukselle esitys

ja vastaavasti tulojen erotukselle

Näistä nähdään, että

Kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku säilyttää siis kongruenttisuuden, ts. kongruenttien lukujen summat ja tulot ovat edelleen keskenään kongruentteja.

Esimerkki 3.2.1.

Koska , edellä olevan perusteella on

.

Luvun kolme viimeistä numeroa ovat siis 776 (kuten edellä arvailtiinkin).

Tehtävä. Laskemalla selvitä, onko luvun neljänneksi viimeinen numero 6 vai 7. Laskinhan on nimittäin voinut pyöristää viimeisen ilmoittamansa numeron.

Vaikka joukon alkiot ovatkin joukkoja, yllä olevan tarkastelun perusteella voimme määritellä sen alkioille yhteen- ja kertolaskut asettamalla

Määrittelyt ovat nimittäin silloin siinä mielessä hyvin tehtyjä, että laskutoimitusten tulokset eivät riipu edustajien ja valinnasta.

Merkitään jatkossa lyhyemmin

,

mikäli on selvää, mikä moduli on kyseessä. Samoin ehdon sijasta kirjoitetaan lyhyemmin .

Esimerkki 3.2.2.

Muodostetaan joukon alkioiden yhteen- ja kertolaskutaulukot:

Huomaa, että nyt .

Tällaisessa taulukossa, ns. operaatiotaulukossa, laskutoimituksen vasemmanpuoleinen alkio (esimerkiksi summassa alkio ) luetaan ensimmäiseltä pystysarakkeelta ja oikeanpuoleinen alkio (summassa alkio ) ensimmäiseltä vaakariviltä. Tulos (summa ) luetaan näiden määräämän rivin ja sarakkeen yhtymäkohdasta. Esimerkiksi yllä olevassa yhteenlaskutaulussa summan tulos 0 on siis taulukon oikeassa alanurkassa.

Tehtävä. Muodosta joukon alkioiden yhteen- ja kertolaskutaulukot.

Tehtävä. Laske joukossa alkioiden 5, 7 ja 9 summa sekä tulo.

Koska joukon alkioiden yhteen- ja kertolasku määritellään olennaisesti kokonaislukujen vastaavien toimitusten avulla, on seuraava tulos varsin ilmeinen.

Lause 3.2.3.

Joukon alkioille pätevät samat laskusäännöt kuin kokonaisluvuillekin, ts.

(a)   ja ,

(b)   ja ,

(c)   ja ,

(d)   ,

(e)   .

Tässä lauseessa lueteltujen ominaisuuksien perusteella joukko , samoin kuin kokonaislukujen joukko , on eräs erikoistapaus yleisemmästä algebrallisesta struktuurista, nimittäin renkaasta. Tästä syystä joukkoa sanotaan myös jäännösluokkarenkaaksi. Alkiota 0 sanotaan nolla-alkioksi, alkiota 1 ykkösalkioksi ja alkiota alkion vasta-alkioksi. Alkion ja toisen alkion vasta-alkion summaa merkitään lyhyemmin erotuksella .

Esimerkki 3.2.4.

Renkaan alkioita voidaan graafisesti kuvata ympyrämuotoon sijoitettuna, jolloin näkyy sen 'kiertomaisuus' yhteenlaskun suhteen. Tehdään se, kun :

Opiskelutehtävä 26. (Jäännösluokkarenkaan laskutaulukot)

Muodosta renkaan yhteen- ja kertolaskutaulukot.

Vinkki tehtävään 26

Renkaan alkioilla lasketaan siis yhteen- ja kertolaskulausekkeita (ja siis polynomeja) aivan kuten kokonaisluvuilla ottamalla vain lisäksi huomioon kongruenttisuudet: negatiiviset luvut ja vähintään luvun suuruiset luvut voidaan aina korvata jollakin luvuista 0, 1, …, . Kongruenttisuuden huomioiminen saattaa usein helpottaa laskuja huomattavasti.

Esimerkki 3.2.5.

Lasketaan potenssi kaikille renkaan alkioille ja taulukoidaan tulokset:

Siten saadaan ensi silmäyksellä ehkä yllättävän tuntuinen, identtisesti pätevä yhtälö renkaassa . Toisin sanoen kaikille kokonaisluvuille pätee kongruenssi . Niinpä yhtälöllä on äärettömän monta kokonaislukuratkaisua, mutta renkaan vain viisi (toki kummassakin kaikki mahdolliset alkiot). Yhtälöiden ratkaisemisen kannalta moduloyhtälöt eroavatkin tämän takia tavallisista yhtälöistä!

Opiskelutehtävä 27. (Kokonaisluvun neliö)

Osoita, että luku 45678901234567890123 ei voi olla minkään kokonaisluvun neliö.

Vinkki tehtävään 27

Esimerkki 3.2.6.

Etsitään vastaus seuraavaan kysymykseen: Mikä on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 9?

Kun jakoyhtälön mukaisesti esitetään , missä , on silloin . Määrätäänkin luku laskemalla renkaassa . Koska siinä renkaassa ja edelleen , on potenssilaskusääntöjen mukaan

.

Siten on vastaus esitettyyn kysymykseen.

Toinen tapa määrätä kysytty potenssiinkorotuksen tulos perustuu potenssin binaariesitykseen. Koska eli , niin

.

Tämän laskemista varten pitää määrätä alkion 4 potenssien potensseja (modulo 9):

,   ,   ,   ,     ja  .

Siten

.

Opiskelutehtävä 28. (Potenssille kongruentti luku)

Määrää pienin positiivinen kokonaisluku siten, että yhtälö toteutuu.

Vinkki tehtävään 28

Opiskelutehtävä 29. (Jakaminen kongruenssilla)

Osoita modulolaskennan avulla, että luonnollisille luvuille pätee: a)  , b)   (Vrt. opiskelutehtävä 14).

Vinkki tehtävään 29

Opiskelutehtävä 30. (Peräkkäisten lukujen tulon kahdeksalla jaollisuus)

Osoita, että neljän peräkkäisen kokonaisluvun tulo on aina kahdeksalla jaollinen.

Vinkki tehtävään 30

Renkaat eroavat kokonaislukujen renkaasta lähinnä parissa ominaisuudessa: Ensinnäkään renkaassa ei päde välttämättä ns. supistamissääntö kuten kokonaisluvuille, joille ehdoista ja seuraa, että . Toisaalta monilla alkioilla voi olla käänteisalkioita päinvastoin kuin renkaassa , jossa vain luvuilla 1 ja −1 on käänteisluvut. Näitä tilanteita kuvaavat seuraavat esimerkit.

Esimerkki 3.2.7.

Renkaassa on , mutta .

Esimerkki 3.2.8.

Renkaassa on , joten alkiot 2 ja 4 ovat toistensa käänteisalkioita siinä mielessä, että niiden tulo on ykkösalkio. Tällaisia tilanteita tarkastellaan lähemmin pykälässä Käänteisalkioista.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]