[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Raja-arvon määritelmä

Funktiolla on kohdassa raja-arvo , merkitään

 

jos funktion arvot tulevat miten tahansa lähelle lukua , kun muuttujan arvot ovat riittävän lähellä lukua . Raja-arvo voidaan merkitä myös , kun . [ Lyhenne lim tulee latinan kielen sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa. ]

Huom!

Raja-arvo kuvaa funktion käyttäytymistä tietyn kohdan läheisyydessä, ei tässä kohdassa. Jos funktion raja-arvo kohdassa on , funktio ei välttämättä ole edes määritelty tässä kohdassa. Jos funktio on määritelty, kun , funktion arvo ei välttämättä ole sama kuin sen raja-arvo tässä kohdassa. Kaikissa oheisen kuvan tapauksissa funktion raja-arvo kohdassa on sama, mutta keskimmäisessä tapauksessa funktio ei ole määritelty tässä kohdassa ja oikeanpuolesen kuvion funktion raja-arvo ja funktion arvo kohdassa ovat erisuuret.

Huom!

Jotta funktiolla olisi raja-arvo kohdassa , on funktion arvojen lähestyttävä lukua lähestyttiinpä kohtaa oikealta tai vasemmalta. Oheisen kuvan funktion arvot lähestyvät lukua 2, kun lähestytään kohtaa vasemmalta, ja lukua 3, kun kohtaa lähestytään oikealta. Sanotaan, että funktion vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa on 2, merkitään

 

ja oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa on 3, merkitään

 

Funktiolla on kohdassa raja-arvo ainoastaan, jos nämä ns. toispuoleiset raja-arvot ovat yhtäsuuret:

 

Huom!

Funktiolla ei myöskään ole raja-arvoa kohdassa , jos funktion arvot kasvavat (tai vähenevät) rajatta lähestyttäessä tätä kohtaa sekä vasemmalta että oikealta. Esimerkiksi funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa , koska , kun . Sanotaan, että funktiolla on kohdassa epäoleellinen raja-arvo ääretön, jota merkitään

 

Raja-arvon laskeminen

Funktion raja-arvo voidaan määrittää algebrallisesti seuraavien laskusääntöjen avulla.

 

Lisäksi, jos

 

niin

 

Huom!

Edellä esitettyjen laskusääntöjen nojalla polynomifunktion ja rationaalifunktion raja-arvo sen määrittelyjoukon pisteessä on sama kuin funktion arvo, jolloin raja-arvo voidaan laskea suoraan sijoittamalla.

Esimerkki 5.2.

Määrää raja-arvo

 

Ratkaisu:

 

Vastaus:   

Rationaalifunktiolla voi olla raja-arvo myös sen nimittäjän nollakohdassa, jossa funktio ei ole määritelty. Tällöin rationaalifunktion lauseke on mahdollista muokata (esim. supistamalla) muotoon, joka on määritelty ko. kohdassa.

Esimerkki 5.3.

Määrää raja-arvo

 

Ratkaisu:

Funktio ei ole määritelty kohdassa . Kun , tarkasteltavan rationaalifunktion osoittaja ja nimittäjä lähestyvät nollaa. Koska on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta, molemmat ovat jaollisia :llä. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin ja supistetaan niiden yhteisellä tekijällä. Jos muodostunut lauseke on määritelty kohdassa , raja-arvo on olemassa ja se on sama kuin funktion arvo.

 

HUOM! Raja-arvon määrityksessä voidaan käyttää myös seuraavanlaista merkintää

 

Vastaus:   

 

Esimerkki 5.4.

Määrää raja-arvo

 

Ratkaisu:

Funktio ei ole määritelty, kun . Kun , sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät jälleen nollaa. Tämä viittaa siihen, että funktion lauseketta voidaan sieventää supistamalla. Lavennetaan funktion lauseke ensin erotusta vastaavalla summalla .

 

HUOM! Funktion lauseke voidaan supistaa myös ilman edellisen kaltaista lavennusta, kun huomataan, että . Siis

 

Vastaus:   

 

Esimerkki 5.5.

Määrää paraabelille pisteeseen piirretyn tangentin eli sivuajan kulmakerroin.

Ratkaisu:

Osaamme määrittää suoran kulmakertoimen ainoastaan, jos siltä tunnetaan kaksi pistettä. Tässä tehtävässä sivuavalta suoralta kuitenkin tiedetään vain sivuamispiste . Ratkaistaan tehtävä epäsuorasti. Paraabelin sekantti on suora, joka leikkaa käyrän kahdessa eri pisteessä. Määrätään pisteen kautta kulkevan sekantin kulmakerroin. Kun toinen leikkauspiste lähestyy pistettä , sekantti lähestyy tähän pisteeseen piirrettyä tangenttia. Kyseisen tangentin kulmakerroin saadaankin sekantin kulmakertoimen raja-arvona.

Olkoon pisteen kautta kulkevan sekantin ja paraabelin toinen leikkauspiste . Sekantin kulmakerroin on tällöin

 

Toinen leikkauspiste lähestyy pistettä ja sekantti kiertyy tangentin suuntaiseksi, kun . Paraabelille pisteeseen piirretyn tangetin kulmakerroin on siten raja-arvo

 

Vastaus:   Tangentin kulmakerroin on .

Harjoituksia

1.  Määrää raja-arvot

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 1

2.  Määrää raja-arvot

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 2

3.  Määrää raja-arvot

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 3

4.  Tutki, onko funktiolla raja-arvo kohdassa , kun

 

Piirrä kuva.

Vastaus tehtävään 4