3.6. Ellipsi

Ellipsi on niiden tason pisteiden joukko, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä mitattujen etäisyyksien summa on vakio. Nämä pisteet ovat ellipsin polttopisteet. Ellipsiltä polttopisteisiin piirrettyjä etäisyysjanoja sanotaan polttosäteiksi. Ellipsi voidaan piirtää käyttämällä apuna polttosäteiden summan mittaista lankaa, jonka päät on kiinnitetty polttopisteisiin. Ellipsi on symmetrinen sekä polttopisteiden kautta kulkevan suoran että polttopisteiden välisen janan keskinormaalin suhteen. Ellipsin ja sen symmetria-akselien leikkauspisteitä kutsutaan ellipsin huipuiksi.

Tällä kurssilla tarkastellaan ainoastaan ellipsejä, joiden keskipiste on origo ja huiput koordinaattiakseleilla. Ellipsillä, jonka huiput ovat pisteissä ja on yhtälö

Janat ja ovat ellipsin puoliakseleita.

Tämä ellipsi voidaan piirtää oheisen kuvion mukaisesti käyttämällä apukuviona suorakulmiota, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja joka leikkaa koordinaattiakselit ellipsin huippupisteissä. Halutessaan tarkemman kuvion voi lisäksi laskea ellipsiltä joitakin pisteitä.

Esimerkki 3.13.

Määrää ellipsin huiput.

Ratkaisu:

Muutetaan ellipsin yhtälö puoliakselimuotoon.

Vastaus:   Ellipsin huiput ovat ja .

Ellipsin tunsivat jo antiikin matemaaatikot. Esimerkiksi planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden polttopisteenä on Auringon keskipiste, ja Kuun rata on ellipsi, jonka toisena polttopisteenä on Maan keskipiste.

Esimerkki 3.14.

Maan lyhin etäisyys Auringosta on (km) ja pisin etäisyys (km). Mitkä ovat Maan radan puoliakselien pituudet?

Ratkaisu:

Sijoitetaan Maan rata koordinaatistoon, jonka origo on ellipsiradan keskipisteessä. Tällöin ellipsin poltto-pisteet, joista toinen on Auringon keskipiste, ovat koordinaattiakselilla. Olkoon Maan lyhin etäisyys Auringosta ja pisin , ja olkoot Maan radan puoliakselit ja ().

Osoitetaan ensin, että ellipsiradalta sen polttopisteisiin piirrettyjen polttosäteiden summa on . Määritelmän mukaan tämä polttosäteiden summa on vakio. Kun Maan etäisyys Auringosta on pisimmillään (tai lyhimmillään), Maasta radan polttopisteisiin piirrettyjen polttosäteiden summa on oheisen kuvion merkinnöin .

Toisaalta polttosäteiden summa on tässä . Merkitään nämä yhtäsuuriksi ja ratkaistaan pisempi puoliakseli saadusta yhtälöstä.

Kun Maa sijaitsee radan huipussa toisella koordinaattiakselilla, sen etäisyys kummastakin radan polttopisteestä on symmetrian nojalla sama. Koska etäisyyksien summa on , on kummankin etäisyyden oltava . Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ja pisempi kateetti radan toinen puoliakseli ja lyhyempi kateetti kuvion merkinnöin .

Ratkaistaan ensin . Koska , on (km). Puuttuva radan puoliakseli voidaan nyt ratkaista Pythagoraan lauseen avulla.

Vastaus:   Radan puoliakselit ovat ja .

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]