[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Tapaus 1.

Kun hyperbelin polttopisteet sijaitsevat -akselilla symmetrisesti origon suhteen, sen yhtälö on

 

Hyperbeli leikkaa -akselin huippupisteissä ja sen puoliakselit ovat ja . Kun :n itseisarvo kasvaa, hyperbeli lähestyy rajatta suoria , joita kutsutaan hyperbelin asymptooteiksi.

Tämän hyperbelin piirtämiseksi kannattaa tehdä oheisen kuvan kaltainen apukuvio. Se koostuu pisteiden ja kautta kulkevasta suorakulmiosta, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset sekä tämän suorakulmion lävistäjäsuorista. Nämä lävistäjät ovat hyperbelin

asymptootit. Hyperbeli hahmotellaan kuvan osoittamalla tavalla huipuista lähestymään asymptoottisesti suorakulmion lävistäjäsuoria.

Tapaus 2.

Toinen erikoistapaus on edellä esitellyn hyperbelin ns. liittohyperbeli. Sen yhtälö on

 

Tämän hyperbelin huiput ovat -akselilla pisteissä ja myös sen asymptootteina ovat suorat .

Tapaus 3.

Yhtälö , missä , esittää hyperbeliä, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit. Tämä havaitaan, kun esitetään yhtälö muodossa . Kun :n arvot kasvavat itseisarvoltaan rajatta, osamäärä lähestyy nollaa ja kuvaaja -akselia. Kun :n arvot lähestyvät nollaa, osamäärä joko kasvaa tai vähenee rajatta ja kuvaaja lähestyy -akselia. Hyperbelin , missä , huiput ovat

• suoralla , kun , ja

• suoralla , kun .

Esimerkki 3.15.

Määrää seuraavien hyperbelien huiput ja asymptootit.

(a)

(b)

(c)

Ratkaisu:

(a) Muutetaan hyperbelin yhtälö ensin puoliakselimuotoon.

 

Hyperbelin huiput ovat pisteissä ja sen asymptootit ovat

 

(b) Tämäkin yhtälö on ensin muutettava puoliakselimuotoon.

 

Hyperbelin huiput ovat pisteissä ja sen asymptootit ovat

 

(c) Hyperbelin huiput ovat suoralla . Määrätään huiput ratkaisemalla yhtälöpari

 

Yhtälöparin ratkaisut ovat ja . Hyperbelin asymptootteina ovat koordinaattiakselit.

Vastaus:   (a) Huiput ja asymptootit .

(b) Huiput ja asymptootit .

(c) Huiput , ja asymptootit .

Harjoituksia

38.  Määrää hyperbelin huiput ja asymptootit.

Vastaus tehtävään 38

39.  Hyperbelin huiput ovat pisteissä ja . Määrää hyperbelin yhtälö, kun sen toisena asymptoottina on suora .

Vastaus tehtävään 39

40.  Määrää graafisesti käyrien ja leikkauspisteet.

Vastaus tehtävään 40

41.  Yritys myy tuotetta, jonka yksikköhinta on (mk/kpl). Olkoon vuorokaudessa myyty tuotemäärä (kpl/vrk). Tällöin yrityksen myyntitulot (mk/vrk) ovat . Oletetaan, että yrityksen myyntitulot pysyvät vakiona: (mk/vrk). Esitä vakiona säilyvät myyntitulot hyperbelinä -koordinaatistossa ja tulkitse kuvaajan pisteet.

Vastaus tehtävään 41