Lausekkeen 
, missä vakiot 
, suurimman tai pienimmän arvon määrittämistä tasoalueessa nimitetään
lineaariseksi optimoinniksi. Lauseke 
voi esittää esim. kahden eri tuotteen myyntivoittoa. Näiden tuotteiden valmistusta rajoittavat ehdot, jotka aiheituvat rajallisista työaika-, valmistusmateriaali- ja tuotantokustannusresursseista, voidaan usein havainnollistaa tasoalueena, joka näyttää rajoitteiden puitteissa mahdolliset tuotantonopeusyhdis-telmät.
Kun halutaan selvittää, mikä näiden kahden tuotteen tuotantonopeusyhdistelmä tuottaa mahdollisimman suuren myyntivoiton käytettävissä olevin resurssein, on määrättävä myyntivoittolausekkeen 
suurin arvo resursseja kuvaavassa tasoalueessa. Tämä yhdistelmä löytyy etsimällä koordinaatistosta mahdollisimman ylhäällä kulkeva muotoa 
oleva suora, joka sisältää resursseja esittävän tasoalueen pisteitä. Valaiskoon seuraava esimerkki tarkemmin lineaarisen optimointiongelman ratkaisumenetelmää.
Mäkelän emäntä hankkii joutoaikanaan lisätuloja kutomalla poppanoita sekä valmistamalla kangasväreillä käsin painettuja verhokappoja. Käsityöt hän käy tekemässä läheisellä kylätalolla, jossa on kangaspuita sekä kankaanpainantaan sopivat tilat. Emännältä liikenee käsitöihin aikaa 36 (h/kk). Poppanaliinan kutomiseen häneltä kuluu 6 (h/kpl) ja verhon valmistukseen päärmimisineen 4 (h/kpl). Poppanaliinan materiaalikustannukset ovat 80 (mk/kpl) ja verhon 35 (mk/kpl). Käsityöt myydään paikallisessa suoramyyntipisteessä, missä taitavana tunnetun emännän työt menevät aina kaupaksi. Emäntä saa poppanaliinasta 160 (mk/kpl) ja verhosta 80 (mk/kpl). Kylätalolla on tilojen suuren kysynnän vuoksi jouduttu asettamaan kangaspuiden maksimikäyttöajaksi 24 (h/kk) ja kankaanpainantaan sopivien tilojen käyttöajaksi 32 (h/kk) yhdeltä hengeltä.
Kuinka monta poppanaa ja kuinka monta verhokappaa Mäkelän emännän kannattaisi kuukaudessa näiden rajoitteiden puitteissa valmistaa, jotta hänen saamansa myyntivoitto olisi mahdollisimman suuri?
Selvitetään ensin kaikki rajoitteiden puitteissa mahdolliset poppanoiden ja verhojen kuukausittaiset tuotantonopeusyhdistelmät. Olkoon emännän kuukaudessa kutomien poppanoiden määrä eli hänen poppanoiden tuotantonopeutensa 
(kpl/kk) ja painettujen verhojen tuotantonopeus 
(kpl/kk). Näiden valmistukseen kuluva aika on
Koska käytettävissä on korkeintaan 36 (h/kk), aikaresurssi antaa käsitöiden tuotantonopeuksille rajoitteen 
. Koska työtilojen käyttöaikaa oli jouduttu rajoittamaan, on lisäksi oltava voimassa 
ja 
. Nämä epäyhtälöt muodostavat yhdessä epäyhtälöryhmän, jonka ratkaisualue näyttää kaikki mahdolliset käsitöiden tuotantonopeusyhdistelmät.
Oheiseen kuvaan on piirretty tämän epäyhtälöryhmän ratkaisualue.
Kun emännän poppanoiden tuotantonopeus on 
(kpl/kk) ja painettujen verhojen tuotantonopeus 
(kpl/kk), ovat käsitöiden myynistä saatavat tulot 
ja niiden valmistuskustannukset 
, jolloin emännän saaman myyntivoiton ilmoittaa funktio 
. Tehtävänä on määrittää se rajoitteet toteuttavan tasoalueen piste, jossa tämä voittofunktio saa suurimman arvonsa.
Yhtälöt 
esittävät eri 
:n arvoilla toistensa kanssa yhdensuuntaisia suoria. Vakion 
arvot ovat emännän saamia kuukausittaisia myyntivoittoja ja sen mittayksikkö on (mk/kk). Tuotantonopeusyhdistelmä, jolla emännän saama myyntivoitto on mahdollisimman suuri, löytyy etsimällä suoraparvesta 
se, joka on mahdollisimman ylhäällä ja sisältää rajoitteet toteuttavan alueen pisteitä. Koska tarkasteltava alue on monikulmio, voittofunktio saavuttaa suurimman arvonsa jossakin kärkipisteessä tai kaksi kärkeä yhdistävällä janalla.
Oheiseen kuvioon on piirretty muutamia suoraparven 
suoria. Graafisesti tämän lineaarisen optimointiongelman voi ratkaista siirtämällä parven suoraa suuntansa säilyttäen, kunnes löytyy mahdollisimman ylhäällä oleva suora, joka vielä sisältää rajoitealueen pisteen/pisteitä.
Koska optimointiongelman ratkaisu on jokin oheisen monikulmion kärkipiste tai kaksi kärkeä yhdistävä jana, on ensin laskettava nämä kärkipisteet. Rajoitesuora 
leikkaa 
-akselin pisteessä 
, ja suora 
leikkaa
-akselin pisteessä 
. Ratkaistaan suorien 
ja 
leikkauspiste.
Suorat leikkaavat pisteessä 
. Samalla tavalla saadaan suorien 
ja 
leikkauspisteeksi 
. Origo voidaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, sillä se ei tietenkään ole ongelman ratkaisukohta.
Määrätään myyntivoittofunktion arvo jokaisessa kärkipisteessä ja valitaan se, jossa funktio saa suurimman arvonsa.
Vastaus: Mäkelän emännän kannattaa kutoa poppanoita 4 (kpl/kk) ja valmistaa verhokappoja 3 (kpl/kk), jolloin hänen saamansa myyntitulot ovat 455 (mk/kk).
Kahden muuttujan lineaarisessa optimointiongelmassa on edellisen esimerkin tapaan määrättävä jonkun lineaarisen funktion suurin tai pienin arvo tietyt rajoitteet toteuttavassa tasoalueessa. Ratkaiseminen aloitetaan määräämällä tuo rajoitealue. Tämän jälkeen selvitetään mahdolliset ratkaisukohdat, jotka monikulmion tapauksessa ovat sen kärkipisteet tai kaksi kärkeä yhdistävä jana. Lopuksi lasketaan funktion arvo näissä pisteissä ja valitaan niistä suurin tai pienin.
Lineaarisessa optimointiongelmassa voi muuttujia olla kahden sijasta useita, jopa satoja. Näiden havainnollistaminen graafisesti ei onnistu ja ne ratkaistaan tietokoneohjelmien avulla.
19. Puutarhuri lannoittaa suurta nurmikenttää. Lannoite-erän tulee sisältää vähintään 36 (kg) fosfaatteja ja 30 (kg) nitraatteja. Varastossa on kahta eri keinolannoitetta. Puutarhan X-lannos sisältää fosfaatteja 20 % ja nitraatteja 10 %. Nurmikon Erikoislannos sisältää 20 % fosfaatteja ja 30 % nitraatteja. Puutarhan X-lannos maksaa 2 (mk/kg) ja Nurmikon Erikoislannos 4 (mk/kg). Millainen olisi mahdollisimman halpa lannoiteseos nurmialueen lannoitukseen?
20. Onnelliset Opiskelijat ry kerää rahaa ekskursiomatkaa varten. Yhdistys järjestää myyjäiset, jossa myydään jäsenten valmistamia koristetyynyliinoja ja esiliinoja. Tyynyliinaan kuluu kangasta 50 (cm/kpl) ja esiliinaan 100 (cm/kpl). Yhdistys on saanut lahjoituksena 50 (m) kangasta. Koristetyynyliinan valmistukseen kuluu aikaa 30 (min/kpl) ja esiliinan 20 (min/kpl). Yhteensä yhdistyksellä on aikaa käytettävissään 20 (h). Yhdistys myy sekä tyynyliinat että esiliinat hintaan 30 (mk/kpl). Kuinka monta tyynyliinaa ja kuinka monta esiliinaa yhdistyksen kannattaa tehdä, jotta se saisi kartutettua matkakassaansa mahdollisimman paljon? Oletetaan, että em. hinnoilla kaikki käsityöt menevät kaupaksi.
21. Yritys aikoo lisätä työvoimaansa korkeintaan 50 työntekijällä. Tätä varten on budjetoitu 12000000 (mk/vuosi). Työnhakijoissa on sekä tehtävään koulutettuja että kouluttamattomia. Koulutetun työpanos on 20 % suurempi kuin kouluttamattoman. Koulutetusta työntekijästä aiheutuvat kustannukset ovat 300000 (mk/vuosi) ja kouluttamattomasta 200000 (mk/vuosi). Kuinka monta koulutettua ja kouluttamatonta yrityksen kannattaa palkata, jotta uudet työntekijät saisivat mahdollisimman paljon työtä tehdyksi?
22. Kanala Kotkottajat tarvitsee kanojensa ruokkimiseen päivittäin vähintään 9 (kg) proteiinia, 750 (mg) vitamiineja ja 750 (kJ) energiaa. Tarjolla on kahta erilaista kananrehua, joista Kanan Ravinto maksaa 3 (mk/kg) ja Munijan Erikoisherkku 6 (mk/kg). Rehut sisältävät ravintoaineita seuraavasti:
Muodosta mahdollisimman halpa rehuseos, joka täyttää kanojen ravinnontarpeen.
