1.6. Prosenttilaskuja

Prosentti

Prosentti on sadasosa:

Prosenttiluvuilla kuvataan yleisesti tietyn tekijän prosentuaalista osuutta jostakin kokonaisuudesta, esimerkiksi työttömien osuutta koko työvoimasta tai SDP:n kannattajien osuutta kaikista äänioikeutetuista. On huomattava, että % ei ole mittayksikkö, vaan sadasosan merkintätapa.

Esimerkki 1.19.

Eläkkeensaajan asumistuki on 85 % omavastuuosuudet ylittävistä hyväksytyistä asumismenoista. Omavastuu koostuu 2750 (mk):n suuruisesta perusomavastuusta sekä lisäomavastuusta, joka on 40 % tietyn tulorajan ylittävästä vuositulosta. Yksinäisellä eläkkeensaajalla tuo tuloraja on 39020 (mk/vuosi). Laske yksinäisen eläkkeensajan kuukausittainen asumistuki, kun hänen vuositulonsa on 47424 (mk/vuosi) ja asumiskustannukset 10740 (mk/vuosi).

Ratkaisu:

Määrätään ensin eläkkeensaajan lisäomavastuu. Se on

Tällöin eläkkeensaajan koko omavastuu on

Asumistuki on nyt

Kuukausittainen asumistuki on pennin tarkkuudelle pyöristettynä

Vastaus: Asumistuki on 327,85 (mk/kk).

Prosenttiosuus

Luvun prosenttiosuus luvusta on

Esimerkki 1.20.

Astiassa on 800 (g) 15-prosenttista suolaliuosta. Siihen lisätään 120 (g) 8-prosenttista suolaliuosta. Mikä on syntyneen liuoksen suolapitoisuus?

Ratkaisu:

Liuoksen suolapitoisuus ilmoittaa, kuinka monta prosenttia liuoksen koko painosta on suolaa. Liuoksen paino on

josta on suolaa

Uuden liuoksen suolapitoisuus on

Vastaus: 14%

Prosenttimuutos

Prosenttiluvuilla kuvataan myös suureen muutosta määräämällä absoluuttisen muutoksen prosenttiosuus suureen alkuperäisestä arvosta. Jos suure on muuttunut arvosta arvoon , vastaava prosenttimuutos on

Esimerkki 1.21.

Merkittävällä kahvinviljelyalueella sattuneen katovuoden takia kahvin hinta nousi 5 %. Hinnankorotuksen vuoksi kahvin kysyntä laski 3 %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan muuttuivat kahvin myyntitulot?

Ratkaisu:

Olkoon kahvin alkuperäinen hinta ja kuukausittainen kysyntä . Tällöin kahvista saatavat myyntitulot ovat . Hinnankorotuksen jälkeen kahvin yksikköhinta on ja alentunut kysyntä , joten uudet myyntitulot ovat . Myyntitulot kasvoivat

Vastaus: Kahvin myyntitulot kasvoivat 1,85 %.

Joskus suureen muutos ilmoitetaan prosenttiyksikköinä. Tällöin vertaillaan prosenttiluvun avulla ilmaistuja suhteellisia osuuksia. Muutos prosenttiyksikköinä lasketaan kahden prosenttiluvun erotuksena. Esimerkiksi SDP:n kannatus oli vuoden 1998 helmikuussa 23,4 % ja toukokuussa 22,3 %. Puolueen kannatus laski kyseisenä aikana 1,1 prosenttiyksikköä. [ Tiedot perustuvat Research International Finlandin tutkimuksiin. ]

Esimerkki 1.22.

Vähittäiskauppias ostaa banaaneja hintaan 5,80 (mk/kg). Hän myy hedelmät normaalisti hintaan 9,50 (mk/kg). Kauppias oli ostanut 500 (kg) banaaneja em. hinnalla. Niistä hän myi 280 (kg) normaalihintaan. Ylikypsymisen takia kauppiaan oli myytävä 190 (kg) 20 %:n alennuksella ja loput salaattihedelmiksi hintaan 3 (mk/kg). Kuinka monta prosenttiyksikköä kauppiaan saama myyntikate oli normaalia myyntikatetta huonompi?

Ratkaisu:

Vähittäiskaupan myyntikateprosentti ilmoittaa, kuinka monta prosenttia saatu kate (myynti- ja hankintahinnan erotus) on myyntihinnasta. Banaanien myyntikate oli normaalisti

Kauppiaan ostaman banaanierän hankintahinta oli

Erän myyntihinta oli

Erästä saatu myyntikate oli

Saatu myyntikate oli prosenttiyksikköä normaalia huonompi.

Vastaus: 8,0 prosenttiyksikköä.

Kasvuaste

Prosenttilukuja käytetään myös kasvuasteen ilmaisemiseen. Suureen kasvuaste mittaa sen kasvun voimakkuutta aikayksikköä kohti. Jos esimerkiksi tilin vuotuinen korkokanta on 2,0 %, tilillä olevan pääoman kasvuaste on 2,0 (%/vuosi). Jos suureen muutos arvosta arvoon kestää ajan , suureen kasvuaste prosentteina jakson aikana saadaan jakamalla suureen prosenttimuutos aikavälin pituudella: kasvuaste on

Kasvuasteella on siten mittayksikkö , mutta prosenttiosuudet ja prosenttimuutokset ovat dimensiottomia suureita, sillä % on vain yhden sadasosan merkintätapa.

Esimerkki 1.23.

Onnelliset isovanhemmat tallettivat pojanpojan syntymän johdosta 12500 (mk) tilille, joka korkokanta on 2,65 (%/vuosi). Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua. Tili on verollinen ts. korosta peritään 28 % lähdeveroa. Kuinka paljon tilillä on korkoineen viiden vuoden kuluttua, kun tililtä ei tänä aikana nosteta varoja? Oletetaan korkokannan pysyvän samana koko talletusajan.

Ratkaisu:

Koska korosta peritään 28 % lähdeveroa, jolloin 72 % jää asiakkaalle, tilin nettokorkokanta on . Kun nettokorko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua, uusi pääoma on 101,908 % aiemmasta päomasta. Ensimmäisen vuoden kuluttua tilillä on rahaa . Toisen vuoden lopussa tilin saldo on . Kolmannen vuoden kuluttua saldo on . Näin jatkaen saadaan tilin saldoksi viiden vuoden kuluttua

Vastaus: 13738,88 (mk)

Harjoituksia

21. Perheeseen kuuluu vanhempien lisäksi yksi alle 3-vuotias lapsi, jota ei hoideta kunnallisessa päivähoidossa. Perhe on tällöin oikeutettu lasten kotihoidon tukeen. Tuki koostuu hoitorahasta, joka on 1500 (mk/kk) sekä hoitolisästä. Hoitolisän enimmäismäärä on 1000 (mk/kk). Jos kolmihenkisen perheen tulot ylittävät 8480 (mk/kk), hoitolisä vähenee 9,4 % rajan ylittävästä tulosta. Laske perheen saama kuukausittainen lasten kotihoidon tuki, kun perheen tulot ovat 15460 (mk/kk).

Vastaus tehtävään 21

22. Laurin palkka on 8 900 (mk/kk), josta menee veroa 28,5 %, eläke- ja työttömyysvakuutusmaksua 5,8 % ja ammattiyhdistyksen jäsenmaksua 1,3 %. Laurin kerrostalokaksion vuokra on 2 500 (mk/kk). Hän suunnittelee työpaikan vaihtoa, jolloin palkka nousisi 5 %, mutta samalla vero kasvaisi 1,0 prosenttiyksikköä. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan muuttuisi työpaikan vaihdoksen jälkeen Laurin käteen jäävä palkka (verojen ja muiden pakollisten maksujen sekä vuokran maksun jälkeen)?

Vastaus tehtävään 22

23. Yritys vähentää työvoimaansa 20 % ja alentaa samalla palkkoja 5 %. Kuinka monta prosenttia laskevat työvoimakustannukset?

Vastaus tehtävään 23

24. Humalatilaa mitataan määräämällä kehon nesteiden alkoholipitoisuus promilleina eli tuhannesosina. Kehon painosta nesteiden osuus on noin . Mirja, joka painaa 60 (kg), nautti puoli pulloa viiniä, jonka alkoholipitoisuus oli 13 %. Kuinka suuri oli hänen elimistönsä alkoholipitoisuus heti viinin nauttimisen jälkeen, kun pullollinen viiniä painaa 750 (g)?

Vastaus tehtävään 24

25. Matti on päättänyt alentaa alkoholinkulutustaan joka vuosi 15 % edellisestä vuodesta. Kuinka monta prosenttia kulutus on alentunut kolmessa vuodessa?

Vastaus tehtävään 25

26. Pekka osti 31.5. osakkeita, joiden hinta oli ostokuluineen 12560 (mk). Hän myi ne samana vuonna 2.10. ja sai myyntikulut maksettuaan 13080 (mk). Laske kasvuaste ts. vuotuinen korkoprosentti, jonka mukaan Pekka sai sijoituksestaan tuottoa. (Laske korkoaika todellisina päivinä.)

Vastaus tehtävään 26

27. Sarilla oli 560 (g) 12-prosenttista suolaliuosta, johon hän lisäsi 40 (g) 15 prosenttista liuosta. Kuinka monta prosenttiyksikköä kasvoi liuoksen suolapitoisuus?

Vastaus tehtävään 27

28. Tehtaan valmistamien tuotteiden hinnoissa oli työvoimakustannusten osuus ennen palkankorotusta 40 %. Kuinka monta prosenttia tuotteiden hintaa on korotettava, jos palkankorotus aiheuttaa 7,5 %:n nousun työvoimakustannuksiin ja tämä lisätään sellaisenaan hintoihin?

Vastaus tehtävään 28

29. Omenissa on vettä 65 % ja sokeria 5 %. Omenat kuivataan niin, että veden osuus on enää 10 %. Mikä on kuivattujen omenien sokeripitoisuus?

Vastaus tehtävään 29