Tasa-asteinen neliömuoto

Tarkastellaan ensin kahden muuttujan toisen asteen (tasa-asteista) yhtälöä

. (1)

Sen vasenta puolta sanotaan kahden muuttujan neliömuodoksi. Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

, (2)

missä alkuperäinen termin kerroin on jaettu kahteen paikkaan, jotta saadusta kerroinmatriisista

tulee symmetrinen. Silloin se voidaan nimittäin lauseen 11.5 mukaan diagonalisoida, ts. on olemassa ortonormaali tason kanta niin, että

.

Tässä matriisi muodostuu, kuten edellisessä luvussa johdettiin, ominaisvektoreista ja matriisi ominaisarvoista:

ja

.

Lisäksi on ortogonaalinen matriisi, jolloin siis . Toisaalta tietenkin ominaisarvoyhtälöt ja pätevät.

Nyt matriisi voidaan esittää muodossa , joten yhtälö (2) voidaan muuttaa muotoon

,

eli toisin kirjoitettuna muotoon

.

Tässä kaarisuluissa esiintyvä tulo antaa itse asiassa lauseen 9.2 mukaan vektorin koordinaatit ja kannassa , ts.

.

Siten on saatu, että

eli auki laskettuna lyhyesti

.

Tämä yhtälö määrittelee siis aivan saman ratkaisujoukon kuin yhtälö (1), nyt vain ratkaisuvektorien koordinaatit on ilmoitettu vektorien ja muodostamassa kannassa eikä enää luonnollisessa kannassa.

Muotoon

saatettua muotoa sanotaan neliömuodon normaalimuodoksi tai pääakseliesitykseksi. Ominaisvektoreiden määräämät suorat ovat silloin neliömuodon pääakselit. Kaikissa tapauksissa saatava käyrä on symmetrinen pääakselien suhteen. Mahdolliset pääakseliesitykset voidaan luokitella esimerkiksi seuraavasti.

(1)   Jos ominaisarvot ovat molemmat positiivisia, esitys saadaan muotoon

    (  )

ja kyseessä on silloin ellipsi, jonka puoliakselien pituudet ovat ja .

(2)   Jos ominaisarvot ovat erimerkkiset, esitys saadaan muotoon

tai

    (  )

ja kyseessä on silloin (kummassakin tapauksessa) hyperbeli. Se aukeaa sen muuttujan akselin suuntaan, jonka kerroin on positiivinen.

(3)   Jos toinen ominaisarvoista on positiivinen ja toinen nolla, esitys saadaan muotoon

   tai       (  )

ja kyseessä on silloin kaksi yhdensuuntaista suoraa - kaksi pystysuoraa tai kaksi vaakasuoraa.

(4)   Muut tapaukset ovat vielä surkastuneempia käyriä tai sitten mahdottomia yhtälöitä.