Sisätulo, vektorien kohtisuoruus ja pituus

Johdannoksi tarkastellaan ensin, milloin tason kaksi vektoria ja ovat kohtisuorassa, merkitään , ja samalla yleisemmin, miten näiden välinen kulma voidaan laskea. Olkoot ja sekä näiden välinen kulma. Koska geometrisesti on selvää, että vektoria vastaan kohtisuorassa on vektori (ks. oheinen kuva), saadaan vektoreiden ja kohtisuoruudelle komponenttien avulla lausuttuna seuraava ehto

Kun oletetaan luonnollisesti, että ei ole nollavektori, muodostavat vektorit ja tason kannan ja niiden esitykset luonnollisessa kannassa ovat

Näistä voidaan ratkaista vektoreille ja esitykset vektoreiden ja avulla: Kerrotaan ensin edellinen yhtälö luvulla ja jälkimmäinen luvulla sekä kerrotaan sitten edellinen yhtälö luvulla ja jälkimmäinen luvulla . Yhteenlaskujen jälkeen saadaan, että

Näistä ratkaistuina saadaan

ja edelleen

.

Näin ollen vektorin koordinaateiksi ja kannassa on saatu luvut

ja

.

Vektorien ja välisen kulman suuruus saadaan edelleen määrättyä ehdosta

Tuloksena on siten kaiken kaikkiaan, että lausekkeiden

,       ja   

avulla saadaan selvitettyä kohtisuoruuksien lisäksi kulmatkin. Huomaa, että toinen ja kolmas lauseke saadaan ensimmäisestä sijoittamalla vektorit ja samoiksi.

Yllä tarkastellun tasotapauksen viitoittamana asetetaankin yleisemmin seuraavasti.

Avaruuden vektorien ja sisätulo (nimeltään myös pistetulo tai skalaaritulo) on reaaliluku

.

Muita yleisesti käytettyjä merkintöjä ovat mm. , , , ja .

Edelleen määritellään, että vektorit ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, merkitään , jos .