Esimerkki 4.1.

Jos tasossa valitaan ja , on ja siten vektorijoukko on lineaarisesti riippuva.

Jos taas valitaankin , niin selvästi ja kaikilla reaaliluvuilla . Niinpä on nyt lineaarisesti riippumaton vektorijoukko.

 

Opiskelutehtävä 7

Selvitä, ovatko vektorit ja lineaarisesti riippuvat vai riippumattomat, kun

(a)   ja ,

ja ,

ja .

Miten kahden vektorin riippuvuus tai riippumattomuus on helposti nähtävissä?

Vinkki tehtävään 7

Jos jokin vektori voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa, tarkasteltava vektorijoukko on määritelmän mukaan lineaarisesti riippuva. Mutta se, onko jokin vektori - ja mikä niistä - muiden lineaarikombinaatio, voi olla vaikea keksiä. Yksinkertaisesti voi olla ylivoimaista käydä kaikkia mahdollisuuksia läpi. Tarvitaan varmempia menetelmiä. Erään ratkaisun antaa seuraava tulos.

Lause 4.2.

Vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton, jos ja vain jos ehto

 

toteutuu ainoastaan kun .

Todistus. Tottakai , mikäli . Mutta näin yksinkertaisesti ei toki väitetäkään! Yhtäpitävästi muotoiltuna väitetään nimittäin, että vektorijoukko on lineaarisesti riippuva täsmälleen silloin, kun ehto toteutuu myös, kun jokin kerroin on nollasta eroava. Todistetaankin väite tässä muodossa.

Jos ja jokin , esimerkiksi vaikka , silloin on

 

ja siten on lineaarisesti riippuva. Sama päättely toimii olipa mikä tahansa muu kerroin nollasta eroava. Tätä kerrointa vastaava vektori voidaan silloin lausua muiden lineaarikombinaationa.

Edellä oleva päättely toimii kääntäenkin: Jos esimerkiksi vektori voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa eli muodossa , on

,

missä ainakin vektorin kerroin on nollasta eroava. Sama päättely toimii muunkin kuin ensimmäisen vektorin suhteen.

 

Yhden vektorin muodostamalle joukolle voidaan yllä olevan lauseen mukaisesti asettaa, että se on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun . Pätee nimittäin, että

.

Kaksio , missä , on taas lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun kumpikaan ei ole toisen monikerta. Jos kumpikaan niistä ei ole nollavektori, riippumattomuuden toteamiseen riittää, että toinen näistä vektoreista ei ole toisen monikerta. Ehto (kun  ) on nimittäin yhtäpitävä ehdon kanssa.

On myös helppo varmistua siitä, että mikään lineaarisesti riippumaton vektorijoukko ei voi ylipäätään sisältää nollavektoria.

Esimerkki 4.3.

Olkoot ja . Selvitetään näiden tasovektorien lineaarinen riippuvuus ensin määrittelyn kautta eli katsomalla, milloin niiden lineaarikombinaatio on nollavektori. Päättelystä

 

nähdään, että tämä toteutuu vain, kun molempien vektoreiden kertoimet ovat nollia. Siten vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton. Sama voidaan nähdä toki suoraan siitä, että mikään (nollasta eroavan) vektorin monikerta ei voi mitenkään antaa vektoria .

 

Esimerkki 4.4.

Olkoot , ja . Selvitetään näiden avaruusvektoreiden lineaarinen riippuvuus katsomalla, milloin niiden lineaarikombinaatio on nollavektori. Nyt

 

Ratkaistaan saatu yhtälöryhmä Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Muodostetaan laajennettu kerroinmatriisi ja muokataan sitä seuraavasti:

.

Siten , mikä osoittaa, että vektorit , ja ovat lineaarisesti riippumattomat.

 

Esimerkki 4.5.

Olkoot nyt , ja . Selvitetään näiden avaruusvektoreiden lineaarinen riippuvuus katsomalla, milloin niiden lineaarikombinaatio on nollavektori. Nyt

 

Saadusta yhtälöryhmästä nähdään, että edellinen yhtälö toteutuu ainakin arvoilla ja . Toisesta yhtälöstä saadaan tämän jälkeen, että . Tuloksena on, että ainakin yhtälö pätee. Tämä osoittaa, että vektorit , ja ovat lineaarisesti riippuvat. Samaan tulokseen olisi päästy heti suoraankin, jos vain olisi jotenkin arvattu, että .

 

Opiskelutehtävä 8

On annettu vektorit ja .

(a)   Piirrä vektorit ja .

(b)   Keksi jokin sellainen vektori , joka on vektorien ja lineaarikombinaatio ja jonka kaksi ensimmäistä koordinaattia ovat erimerkkiset.

(c)   Keksi vektori , joka ei ole vektorien ja lineaarikombinaatio. Osoita sitten vektorit , ja lineaarisesti riippumattomiksi.

Vinkki tehtävään 8