Lukijalle

Tämä matematiikan kirja on tarkoitettu matemaattista analyysia käsittelevän approbatur-kurssin opiskeluun. Kirjassa käsitellään yhden muuttujan reaalifunktioiden analyysia.

Reaalifunktiot saattavat olla tuttuja aikaisemmista matematiikan opinnoista lukiossa tai vastaavanasteisissa oppilaitoksissa. Tällainen funktio tunnistetaan yleensä siitä, että se määritellään lausekkeella, jossa esiintyy yksi "tuntematon" muuttuja ja joka tämän eri lukuarvoilla antaa tulokseksi jonkin reaaliluvun. Tällainen on esimerkiksi funktio , joka liittää jokaiseen reaalilukuun lausekkeen antaman tuloksen. Yleisemmin funktio voidaan määritellä myös jonkin yhtälön tai muun yleisemmän ehdon toteuttavana funktiona, jonka lauseketta ei ole annettu tai jota ei välttämättä edes tiedetä tai pystytä selvittämään. Esimerkiksi voidaan vaatia, että funktio toteuttaa ns. funktionaaliyhtälön tai ns. differentiaaliyhtälön (missä on funktion derivaattafunktio). Tässä kirjassa keskitymme kuitenkin lausekkein määriteltyihin funktioihin.

Reaalifunktioon liittyy olennaisesti sen kuvaaja. Se on sellainen tasokäyrä, jonka kunkin pisteen vaakakoordinaatti on funktion muuttujan arvo ja pystykoordinaatti on vastaava funktion arvo. Usein mielletään, ja näin yksinkertaisille funktioille onkin, että tällainen kuvaaja on aina piirrettävissä ja että se lisäksi olisi yhtenäinen eli jatkuvasti piirrettävissä ilman kynännostoa. Yleisesti ottaen tämä ei ole oikea havainto. Voi olla jopa, että funktion kuvaajaa on mahdoton piirtämällä esittää. Kun tässä kirjassa keskitymme lausekkein määriteltyihin funktioihin, ovat tällaisten funktioiden kuvaajatkin yleensä hyvin piirrettävissä tai ainakin niiden kulku on riittävällä tarkkuudella hahmoteltavissa.

Kirjan aluksi kertaamme reaalilukujen ja -funktioiden perusominaisuuksia sekä esittelemme kompleksiluvut. Samalla tulevat tyypillisimmät lausekkeiden muokkaustavat kerrattua.

Perusasioitten kertauksen jälkeen aloitamme ns. matemaattisen analyysin eli reaalifunktioiden analysoinnin. Se sisältää periaatteessa kaiken sen tyyppisen tarkastelun, missä pyritään selvittämään annetun funktion analyysin kannalta tärkeimmät ominaisuudet. Tärkein kiinnostuksen kohde on funktion kuvaajan kulun selvittäminen. Tähän taas liittyy mm. epäjatkuvuuskohtien eli hyppäyskohtien selvittäminen, funktion nollakohtien eli kuvaajan ja vaaka-akselin leikkauspisteitten ratkaiseminen, kuvaajan lasku- ja nousukohtien määrääminen ja näitten kasvusuuntien vaihtumiskohtien etsiminen.

Toisessa luvussa käsitellään reaalifunktioiden raja-arvo ja jatkuvuus. Kolmannessa ja neljännessä luvussa asiana ja kurssin pääasiana on reaalifunktion derivaatta ja sen käyttö funktion käyttäytymisen selvittämisessä. Tähän kuuluu mm. ääriarvojen, kasvu- ja vähenevyysalueiden, kasvun käännepisteiden, kuvaajan kaarevuuden ja asymptoottien eli rajasuorien selvittäminen.

Viidennessä luvussa esitellään vielä ns. alkeisfunktioista eksponentti- ja logaritmifunktiot, hyperbelifunktiot ja arkusfunktiot.

Asioiden käsittelyjärjestys on pyritty tekemään varsin johdonmukaiseksi, toisin sanoen uudet käsitteet ja tulokset perustuvat aina aikaisemmin käsiteltyihin asioihin. Tämä kehittelyn johdonmukaisuus kannattaa opiskelun kuluessa erityisesti huomioida. Monet vastaan tulevat käsitteet ja tulokset ovat nimittäin todennäköisesti aikaisemmista matematiikan opinnoista tuttuja. Ne saattavat olla kuitenkin epätarkemmin käsiteltyjä ja joltakin osin eri järjestyksessä käsiteltyjä. Tämän tuttuuden ei saisi toisaalta antaa liiallista harhakuvaa osaamisvalmiudestaan, mutta toisaalta sen antamaa vaikutelmaa asioiden osaamisesta tulisi käyttää hyväkseen. Tämän takia on hyvä pitää mielessään se, missä järjestyksessä asiat tulevat vastaan, ja siten myös se, mitä tietoja voi missäkin vaiheessa käyttää.

Erityisesti kirjassa oletetaan, että lausekkeitten ja funktioitten perusmuokkaukset ja -käsittelyt ovat tuttuja eikä niitä siten kaikin paikoin aivan perinpohjaisesti selitetä. Painoa onkin asetettu enemmän asioitten perustelemisen opettelemiseen. Jos laskuvalmiudessa tuntee olevan puutteita, voi harkita jonkin propedeuttisen kurssin opiskelua ennen tätä kurssia tai tämän kurssin rinnalla.

Kirjassa teorian rakennetta voisi kuvata monin kohdin rationaaliseksi. Tällä tarkoitetaan sitä, että jostain uudesta käsitteestä, kuten esimerkiksi raja-arvosta tai derivaatasta, johdetaan ensin muutama perustulos, joiden jälkeen lisää tuloksia tai sääntöjä johdetaan rationaalisin toimin ts. käyttäen summien, erotusten, tulojen ja osamäärien muodostamista ja niitä koskevia sääntöjä hyväksi. Nimityksellä viitataan siihen, että juuri näillä operaatioilla murtoluvuistakin saadaan muodostettua lisää murtolukuja.

Merkinnöistä mainittakoon, että tekstirivin oikeassa reunassa oleva merkki tarkoittaa todistuksen loppumista ja merkki esimerkin loppumista. Pykälien numerointi jatkuu juoksevasti luvun vaihtumisen jälkeen, jotta viittaukset eri pykäliin olisi helpompi löytää. Funktioiden kuvaajat on pääosin piirretty Graphing Calculator- ja Mathematica-ohjelmilla. Osa kuvaajista on tietoisesti karkeahkolla näyttöresoluutiolla piirrettyjä sen korostamiseksi, että usein kuvaajan hahmottelu on tarkkaa piirtämistä tärkeämpää. Annettuihin harjoitustehtäviin ei ole kirjassa esitetty ratkaisuja eikä vastauksia, sillä tehtäviä käytetään kurssien harjoitustehtävinä ja näiden ratkaiseminen on osa kurssin suoritusta. Siten useiden tehtävien ratkaisut tulevat myös kurssien aikana saataville.

Kirjan pohjana ovat aikaisempina vuosina Jyväskylän yliopistossa luennoidut kurssit. Kirjoittaja haluaa kiittää kursseilla mukana olleita opiskelijoita ja opettajia sekä heistä erityisesti Markku Ekosta monista asioiden esittämiseen ja ymmärtämiseen liittyvistä ideoista. Kiitos korjauksista ja parannusehdotuksista myös avoimen yliopiston matematiikkatiimin jäsenille: Janne Kauhanen, Päivi Kujansuu, Janika Konnu, Satu Pelkonen.

Jyväskylässä elokuussa 2003      Mikko Saarimäki