I.2.  Lauselogiikkaa

Matematiikassa aksioomat ja lauseet ovat luonteeltaan väitteitä, propositioita. Niille on ominaista, että ne ovat aina joko tosia () tai epätosia (), ne ovat siis kaksiarvoisia. Esimerkiksi lausumat "" ja "" ovat tällaisia väitelauseita, sen sijaan ilmaisu "" ei ole, koska se ei edes väitä mitään. Kullakin lauseella , , … on siis totuusarvonaan joko tai . Lausumaa, jonka totuusarvo riippuu jostain muuttujasta, sanotaan avoimeksi lauseeksi. Esimerkiksi lauseen "" totuusarvo riippuu muuttujan suuruudesta; sillä ei ole totuusarvoa ennenkuin muuttujalle annetaan arvo. Avoimia lauseita käsitellään lähemmin seuraavassa pykälässä.

Väitelauseista voidaan muodostaa uusia lauseita ns. loogisten siteiden eli konnektiivien avulla. Ne ovat lauseiden väliin lisättäviä sidesanoja tai merkkejä, joista yleisimpiä ovat ¬, ∧, ∨, ⇒ ja ⇔, ja jotka selitetään tarkemmin seuraavassa.

Negaatio eli vastakohta (¬). Lauseen negaatio on sen vastaväite , joka määritellään yksinkertaisesti seuraavalla totuustaulukolla.

Siinä taulukoidaan, miten lauseen totuusarvosta saadaan lauseen totuusarvo. Negaatio vaihtaa siis lauseen totuusarvon päinvastaiseksi. Esimerkiksi lauseen "" negaatio on lause "".

Konjunktio eli " ja" (∧). Lauseiden ja konjunktio on tosi täsmälleen silloin, kun sekä että ovat tosia.

Se määritellään siis seuraavalla totuustaulukolla, jossa taulukoidaan nyt, miten atomilauseiden ja mahdollisista totuusarvoista saadaan yhdistetyn lauseen eli molekyylilauseen totuusarvo. Merkin "∧" sijasta käytetään myös et-merkkiä "&".

Disjunktio eli " tai" (∨). Lauseiden ja disjunktio on tosi täsmälleen silloin, kun on tosi tai on tosi tai molemmat ovat tosia.

Huomaa tässä tai-sanan merkitys: kyseessä ei ole poissulkeva "tai" eli kyseessä ei ole "joko − tai", vaan on tosi myös silloin, kun molemmat yhdistettävät lauseet ovat tosia.

Implikaatio eli seuraus (⇒). Kun ja ovat lauseita, tarkoittaa lausetta "jos pätee, niin pätee" tai ":stä seuraa " ja sen totuusarvo määritellään seuraavan totuustaulukon avulla.

Huomaa, että jos on epätosi, lause on tosi riippumatta lauseen totuusarvosta. Esimerkiksi lause "" on tosi sijoitettiinpa luvun paikalle mikä kokonaisluku tahansa. Sen sijaan lause "" ei ole tosi.

Ekvivalenssi eli yhtäpitävyys (⇔). Kun ja ovat lauseita, tarkoittaa , että lauseet ja ovat yhtäpitäviä ts. ja pätevät yhtaikaa, ja sen totuusarvo määritellään seuraavan totuustaulukon mukaan.

Kun on tosi, eli kun lauseilla ja on samat totuusarvot, sanotaan myös, että lauseet ja ovat loogisesti ekvivalentit. Esimerkiksi lause "" on tosi kaikilla reaaliluvun arvoilla.

Jos useita lauseita yhdistetään erilaisilla konnektiiveilla, on selvyyden vuoksi käytettävä apuna sulkeita osoittamaan yhdistelyjärjestykset. Seuraavassa esimerkissä on tehty näin.

Esimerkki 1.2.1.

Verrataan lauseiden ja totuusarvoja keskenään. Tehdään seuraavanlainen taulukko.

Taulukosta havaitaan, että lauseiden ja totuusarvot ovat aina samat riippumatta atomilauseiden ja totuusarvoista. Tämän mukaan ekvivalenssilause on identtisesti tosi.

Lukujen kerto- ja yhteenlaskuista kertolasku on perinteisesti 'vahvempi', ts. se suoritetaan lausekkeissa ennen yhteenlaskua. Siksi esimerkiksi lausekkeesta voidaan jättää sulut pois. Vastaavasti loogisille siteillekin sovitaan suoritusjärjestykset. Niistä negaatio (¬) on vahvin, seuraavaksi konjunktio (∧) ja disjunktio (∨) keskenään yhtä vahvoina, sitten implikaatio (⇒) ja lopuksi ekvivalenssi (⇔) heikoimpana. Yllä olevan esimerkin 1.2.1 lauseke

voidaan siten kirjoittaa vähemmin sulkein muodossa

.

Esimerkki 1.2.2.

Verrataan lauseiden ja totuusarvoja keskenään. Tehdään seuraavanlainen taulukko.

Havaitaan, että lauseiden ja totuusarvot ovat aina samat riippumatta atomilauseiden ja totuusarvoista. Siten lause on identtisesti tosi.

Edellisten esimerkkien kaltaisia, identtisesti tosia lauseita, sanotaan tautologioiksi. Seuraavassa lauseessa on eräitä yleisimpiä tautologioita. Ne voidaan todeta päteviksi totuustaulukoiden avulla.

Lause 1.2.3.

Kun ja ovat loogisia lauseita, ovat seuraavat tautologioita:

(a)   Kaksoiskiellon poisto

(b)   Kontraponointilaki

(c)   De Morganin 1. laki

(d)   De Morganin 2. laki

(e)   Ekvivalenssilaki

(f)   Vaihtoehtopakko

(g)   Ristiriidattomuuspakko.

Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua − ja useimmiten myös juuri näin tehdään − osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi.

Opiskelutehtävä 1. (Tämä lause on epätosi)

Mieti lausetta "Tämä lause on epätosi". Onko se tosi vai epätosi?

Vinkki tehtävään 1

Opiskelutehtävä 2. (Implikaation vastaväite)

Osoita totuustaulukon avulla, että lauseen vastaväite on . Osoita sama myös käyttäen esimerkkiä 1.2.2 ja lausetta 1.2.3 hyväksi.

Vinkki tehtävään 2

Opiskelutehtävä 3. (Ekvivalentit lauseet)

a) Osoita seuraavat lauseet loogisesti ekvivalenteiksi:

, ja .

b) Käyttäen a)-kohdan ekvivalentteja muotoja lausu väite "Jaoton kokonaisluku on pariton tai kakkonen" kahdella muulla tavalla.

Vinkki tehtävään 3

Opiskelutehtävä 4. (Loogisen lauseen sievennys)

Sievennä lauseke .

Vinkki tehtävään 4

Seuraaviin tautologioihin perustuvat yleisimmät matematiikan todistustavat. Näidenkin todistukset voidaan tehdä totuustaulukoilla.

Lause 1.2.4.

Kun , ja ovat logiikan lauseita, ovat seuraavat tautologioita:

(a)   Suora päättely

(b)   Käänteinen suora päättely

(c)   Epäsuora päättely

Suora päättely on näistä selkein ja tavanomaisin, jossa siis lauseesta , oletuksesta, pyritään suoraan lauseeseen , väitteeseen.

Kontraponointilain mukaan lause voidaan korvata lauseella . Tällöin suorasta päättelystä saadaan käänteinen suora päättely, missä siis vastaväitteestä eli antiteesistä johdetaan oletuksen vastakohta . Jos tässä ajattelemme oletuksen olevan toden, seuraa siitä, että oletus ja sen vastakohta eivät voi olla yhtaikaa voimassa, se, että vastaväite ei ole tosi, vaan sen vastakohta eli siis itse väite on tosi. On kuitenkin huomattava, että päättelyn on toimittava kaikilla totuusarvoilla, jotta voimme tehdä päätelmiä myös hypoteeseista, joiden todellista totuusarvoa emme etukäteen tiedä.

Epäsuorassa päättelyssä vastaväitteestä johdetaan oletuksen avulla jokin identtisesti epätosi lause , ristiriita eli kontradiktio. Käänteinen suora päättely on eräs epäsuoran päättelyn alalaji, sillä siinä lause on lauseen roolissa. Lauseen merkitys epäsuorassa päättelyssä on se, että ristiriidan aiheeksi kelpaa mikä tahansa lausuma − muukin kuin oletus .

Harjoitustehtäviä

1.   Muodosta lauseiden = "on olemassa joukko , jolle " ja = "kaikille joukoille on " negaatiot. Mitkä näistä ovat tosia ja mitkä epätosia? (Joukkojen leikkausten ja yhdisteiden määrittelyt kerrataaan pykälässä Joukko-oppia.)

2.   Tiedetään, että kahdesta laatikosta ja toisessa on palkinto. Laatikon päällä lukee "Laatikon teksti on oikein, ja palkinto on tässä laatikossa." Laatikon päällä taas lukee "Laatikon teksti on väärin, ja palkinto on laatikossa ." Kummassakohan laatikossa palkinto on?

3.   Todista kontraponointilaki tautologiaksi täyttämällä seuraava totuustaulukko.

4.   Tutki, onko seuraava tautologia: .

5.   Tutki, onko seuraava tautologia: .

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]