I.4.  Joukko-oppia

Yksinkertaisesti ilmaistuna joukko tunnistetaan alkioistaan. Kun alkio on joukon alkio, merkitään . Yleisin tapa määritellä joukko on ilmoittaa se jonkin tunnetun joukon osajoukoksi. Alkioiden valinta voidaan ilmoittaa jollakin lausekkeella, ominaisuudella tai ehdolla. Esimerkiksi tarkoittaa sitä luonnollisten lukujen osajoukkoa, jonka alkiot toteuttavat annetun ehdon, parillisuuden. Valinta voidaan tehdä myös luettelemalla joukkoon kuuluvat alkiot, kuten esimerkiksi tai . Varsinainen joukon käsitteen aksiomaattinen määrittely on työläs ja ehdotonta tarkkuutta vaativa. Kaikki ajateltavissa olevat ilmaisut eivät silti tuota matemaattisesti mielekästä joukkoa, ei esimerkiksi ole olemassa kaikkien joukkojen joukkoa.

Joukko on joukon osajoukko eli sisältyy joukkoon , jos kaikki sen alkiot ovat myös joukon alkioita:

.

Kaksi joukkoa ovat samat, jos kumpikin on toisensa osajoukko eli jos kumpikin sisältää toistensa alkiot:

.

Huomaa, että merkintä pitää sisällään sen mahdollisuuden, että . Jos , mutta , on joukko joukon aito osajoukko, merkitään . Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole alkioita. Se on aina jokaisen joukon osajoukko.

Yllä joukkojen sisältyvyys ja samuus määriteltiin implikaation ja ekvivalenssin avulla. Käyttäen muita loogisia siteitä määrittelyehtoihin saadaan määriteltyä joukkojen komplementti, leikkaus ja yhdiste seuraavaan tapaan.

Jos on ns. perusjoukko, jonka osajoukkoja tarkasteltavat joukot ja ovat, asetetaan leikkaus ja yhdiste seuraavasti:

ja .

Jos , ovat joukot ja erilliset.

Joukoille voidaan muodostaa myös ns. joukkoerotus:

.

Sitä sanotaan myös joukon komplementiksi joukossa . Osajoukon komplementtia koko perusjoukossa merkitään myös .

Kolmesta mielivaltaisesta joukosta ja leikkauksilla ja yhdisteillä saatavat erilliset alkeisjoukot näkyvät seuraavasta ns. Vennin kuviosta. Siinä joukot , ja ovat keskenään siinä mielessä mahdollisimman yleisessä asennossa, että kaikki näiden avulla muodostettavat kahdeksan erillistä osajoukkoa näkyvät. Vennin kuvioiden avulla voidaankin sen takia yleispätevästi katsoa, päteekö jokin korkeintaan kolmea joukkoa koskeva väite paikkansa, esimerkiksi vaikkapa seuraavan opiskelutehtävän väite.

Opiskelutehtävä 7. (Joukko-opillinen väite)

Tutki, pitääkö väite aina paikkansa.

Vinkki tehtävään 7

Opiskelutehtävä 8. (Vennin kuvion palat)

Olkoot , ja saman perusjoukon osajoukkoja. Valitse Vennin kuviosta jotkin kaksi palaa, jotka eivät sivua toisiaan, ja esitä näiden yhdiste joukkojen , ja avulla vähintään kahdella eri tavalla.

Vinkki tehtävään 8

Opiskelutehtävä 9. (Joukkojen sisältymisen vastakohta)

Mitä tarkoittaa mielestäsi merkintä ? Selitä se sanallisesti ja alkioittain määriteltynä sekä anna esimerkki tällaisesta joukkotilanteesta.

Vinkki tehtävään 9

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]