[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Yksinkertaisesti ilmaistuna joukko tunnistetaan alkioistaan. Kun alkio
on joukon
alkio, merkitään
. Yleisin tapa määritellä joukko on ilmoittaa se jonkin tunnetun joukon osajoukoksi. Alkioiden valinta voidaan ilmoittaa jollakin lausekkeella, ominaisuudella tai ehdolla. Esimerkiksi
tarkoittaa sitä luonnollisten lukujen osajoukkoa, jonka alkiot toteuttavat annetun ehdon, parillisuuden. Valinta voidaan tehdä myös luettelemalla joukkoon kuuluvat alkiot, kuten esimerkiksi
tai
. Varsinainen joukon käsitteen aksiomaattinen määrittely on työläs ja ehdotonta tarkkuutta vaativa. Kaikki ajateltavissa olevat ilmaisut eivät silti tuota matemaattisesti mielekästä joukkoa, ei esimerkiksi ole olemassa kaikkien joukkojen joukkoa.
Joukko
on joukon
osajoukko eli
sisältyy joukkoon
,
jos kaikki sen alkiot ovat myös joukon
alkioita:
Kaksi joukkoa ovat samat, jos kumpikin on toisensa osajoukko eli jos kumpikin sisältää toistensa alkiot:
Huomaa, että merkintä pitää sisällään sen mahdollisuuden, että
. Jos
,
mutta
,
on joukko
joukon
aito osajoukko, merkitään
.
Tyhjä
joukko
on joukko, jossa ei ole alkioita. Se on aina jokaisen joukon osajoukko.
Yllä joukkojen sisältyvyys ja samuus määriteltiin implikaation ja ekvivalenssin avulla. Käyttäen muita loogisia siteitä määrittelyehtoihin saadaan määriteltyä joukkojen komplementti, leikkaus ja yhdiste seuraavaan tapaan.
Jos
on ns. perusjoukko, jonka osajoukkoja tarkasteltavat joukot
ja
ovat, asetetaan
leikkaus
ja
yhdiste
seuraavasti:
Jos ,
ovat joukot
ja
erilliset.
Joukoille voidaan muodostaa myös ns. joukkoerotus:
Sitä sanotaan myös joukon
komplementiksi joukossa
. Osajoukon
komplementtia
koko perusjoukossa merkitään myös
.
Kolmesta mielivaltaisesta joukosta
ja
leikkauksilla ja yhdisteillä saatavat erilliset alkeisjoukot näkyvät seuraavasta ns.
Vennin
kuviosta. Siinä joukot
,
ja
ovat keskenään siinä mielessä mahdollisimman yleisessä asennossa, että kaikki näiden avulla muodostettavat kahdeksan erillistä osajoukkoa näkyvät. Vennin kuvioiden avulla voidaankin sen takia yleispätevästi katsoa, päteekö jokin korkeintaan kolmea joukkoa koskeva väite paikkansa, esimerkiksi vaikkapa seuraavan opiskelutehtävän väite.
Opiskelutehtävä 7. (Joukko-opillinen väite)
Tutki, pitääkö väite aina paikkansa.
Opiskelutehtävä 8. (Vennin kuvion palat)
Olkoot ,
ja
saman perusjoukon
osajoukkoja. Valitse Vennin kuviosta jotkin kaksi palaa, jotka eivät sivua toisiaan, ja esitä näiden yhdiste joukkojen
,
ja
avulla vähintään kahdella eri tavalla.
Opiskelutehtävä 9. (Joukkojen sisältymisen vastakohta)
Mitä tarkoittaa mielestäsi merkintä ? Selitä se sanallisesti ja alkioittain määriteltynä sekä anna esimerkki tällaisesta joukkotilanteesta.
1. Olkoot ,
ja
saman perusjoukon
osajoukkoja. Osoita oikeaksi ns. osittelulaki
.
2. Olkoot ja
saman perusjoukon
osajoukkoja. Osoita oikeaksi ns. de Morganin laki
.
3. Olkoot ,
ja
saman perusjoukon
osajoukkoja. Määrää Vennin kuviosta joukko
.
4. Mieti ja kokeile, miten muodostaisit neljän joukon Vennin kuvion niin, että kaikki neljä joukkoa olisivat mahdollisimman yksinkertaisen näköisiä ja yhtenäisiä. (Jos lähdet liikkeelle kolmen joukon Vennin kuviosta, mieti, mitä pitäisi neljännen joukon tehdä kaikille jo muodostuneille paloille. Neljännen joukon sijoittaminen samanmuotoisena ei enää onnistune, ja sen yhtenäisenä pitämiseenkin tarvitaan hieman kekseliäisyyttä!)