I.3.  Predikaattilogiikkaa

Jos jokin lause riippuu jostain muuttujasta , ilmoitamme riippuvuuden kirjoittamalla ja sanomme, että se on avoin lause. Esimerkiksi voi olla kokonaisluvusta riippuva lause "". Jos tässä muuttujalle annetaan jokin arvo, avoin lause muuttuu lauseeksi, jolla on jokin totuusarvo, joko tosi tai epätosi.

Avoin lause voi siis saada kumpiakin totuusarvoja, ts. voi olla olemassa arvo , jolle on tosi, ja voi olla olemassa arvo , jolle on epätosi. Tällainen on edellä mainittu lause "".

On toisaalta helppo keksiä avoin lause, joka on tosi kaikilla muuttujansa arvoilla. Esimerkiksi kokonaisluvusta riippuva lause "" on sellainen. Vastaavasti lause "" on aina epätosi.

Matematiikassa edellisten kaltaiset tilanteet ovat itse asiassa varsin tavallisia ja siksi niitä varten on otettu käyttöön omat operaatiosymbolit: olemassaolokvanttori (∃) ja kaikki- eli universaalikvanttori (∀). Merkitäänkin , kun tarkoitetaan, että on olemassa , jolla on ominaisuus . Vastaavasti merkintä tarkoittaa, että kaikilla on ominaisuus . Jos näissä lausumissa muuttuja halutaan rajata johonkin joukkoon tai luokkaan , merkitään silloin täsmennettynä , ts. merkitään tai . Kummassakin tapauksessa avoimesta lauseesta on saatu kvanttorin lisäyksellä aikaan looginen lause, jolla on totuusarvo.

Esimerkki 1.3.1.

Lause väittää, että on olemassa reaaliluku , jolle epäyhtälö pätee. Se on tosi lause, sillä esimerkiksi luku kelpaa etsityksi luvuksi. Monet muutkin luvut kelpaavat, mutta olemassaoloväitteen todeksi osoittamiseen riittää löytää yksi.

Myös lause on tosi, sillä reaalilukujen neliöt ovat aina ei-negatiivisia, joten on aina positiivinen.

Usein vastaan saattaa tulla tilanne, jossa kvanttorilauseelle on tarpeen muodostaa negaatiolause. Seuraava antaa siihen muodollisen ratkaisun.

Lause 1.3.2. Lause (Negaation ja kvanttorin vaihtosääntö)

Avoimelle lauseelle seuraavat ovat tautologioita:

,

.

Sanallisesti ilmaistuna edellinen tarkoittaa, että lauseen "jokaiselle luokan alkiolle on voimassa" vastaväite kuuluu "luokassa on alkio , jolle ei päde." Lausu mielessäsi vastaavasti toinen vaihtosääntö. Koska jokaiselle lauseelle joko se itse tai sitten sen negaatio on tosi, pätee esimerkiksi lauseista ja jokaisessa tilanteessa vain toinen.

Esimerkki 1.3.3.

Reaaliluvusta riippuvan lauseen vastaväite on vaihtosäännön mukaan . Näistä siis vain toinen on tosi − jälkimmäinen, sillä esimerkiksi luku toteuttaa väitteen.

Kvanttoreita voidaan yhdistellä sellaisiksi lauseiksi, jotka riippuvat useammista muuttujista. Esimerkiksi kvanttorilause tarkoittaa, että "jokaista reaalilukua kohti on olemassa luonnollinen luku siten, että ", ja on siis tosi lause. Tässä on reaalilukujen ja on luonnollisten lukujen joukko.

Perättäiset kvanttorit yhdistetään vasemmalta oikealle. Yllä oleva väite on siten muotoa , missä on luonnollisesta luvusta riippuva väite .

Myös väite eli "on olemassa reaaliluku , jolle kaikilla luonnollisilla luvuilla pätee " on tosi lause, sillä luvuksi kelpaa mikä tahansa negatiivinen luku.

Opiskelutehtävä 5. (Kvanttorilauseiden totuusarvo)

Seuraavissa väitteissä kaikki muuttujat voivat olla nollasta eroavia kokonaislukuja. Määrää kunkin väitelauseen totuusarvo. Jos se on epätosi, muodosta myös lauseen negaatio.

(a)   ,

(b)   ,

(c)   .

Vinkki tehtävään 5

Opiskelutehtävä 6. Kvanttorilauseen vastaväite)

Muodosta väitelauseen vastaväite ja mieti, kumpi väite pitää paikkansa. (  on reaalilukujen joukko.)

Vinkki tehtävään 6

Lopputoteamus: Loogisten operaatioiden ja symbolien hallinta ei ole tämän osan pääasia, vaan tarkoitus on tuoda esiin matemaattisen ajattelun perusperiaatteita ja korostaa täsmällisyyden merkitystä. Vältä kuitenkin liiallista lyhenteiden ja symbolien käyttöä. Pyri käyttämään sanallisempia ilmaisuja − ne hallitset automaattisesti paremmin. Jo muutamien sidesanojen käyttö ("jos …, niin …", "siten, että", "tästä/näistä seuraa …") tuo selkeyttä ja luettavuutta esitykseen.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]