I.1.  Matematiikka tieteenä

Matematiikka on luonteeltaan päättelevä, deduktiivinen tiede. Ennalta asetettujen olettamien − kuten aksioomien − tai jo tunnettujen tai todistettujen lauseiden avulla pyritään luomaan uusia tuloksia. Päättelyssä käytetään usein luonnollista intuitiivista logiikkaa, mutta kun tulos halutaan varmentaa aukottomasti, tarvitaan täsmällisiä, hyvinkin muodollisia sääntöjä. Puhutaan formaalista logiikasta. Se muodostuu lause- eli propositiologiikasta ja ominaisuus- ja relaatiolaskennasta eli predikaattikalkyylista.

Aksiooma on väittämä, joka jostain järkevästä tai luonnollisesta syystä tuntuu tai on tuntunut aiheelliselta sopia aina paikkansa pitäväksi lausumaksi. Esimerkkinä olkoot eräät jo Eukleideen esittämät aksioomat, jotka muun muassa lausuvat geometrian peruskäsitteistä, pisteistä ja suorista, että "mitkä tahansa kaksi eri pistettä kuuluvat jollekin suoralle" tai että "jokaisella suoralla on ainakin kaksi eri pistettä." Aksioomat eivät saa olla mitä tahansa lausumia, vaan hyvältä aksioomajärjestelmältä vaaditaan sekä riippumattomuus että ristiriidattomuus: aksioomat eivät saa olla todistettavissa toisistaan eivätkä tietenkään ristiriidassa keskenään. Aksioomissa ilmaistaan myös usein, mitä peruskäsitteitä saadaan käyttää ja mitä niillä tarkoitetaan.

Matemaattinen teoria muodostuu aksioomista johdetuista lausumista, teoreemoista. Jos aksioomat on valittu taitavasti, teorian kehittyminen saattaa olla loputonta: uusi sukupolvi tarvitsee ja keksii yhä uusia lauseita ja pyrkii hallitsemaan yhä suurempia kokonaisuuksia. Alunperin pienistä teorioista muodostuu yhä isompia ja niitä yhdistellään eräänlaisiksi 'yhtenäisyysteorioiksi.' Uusia määritelmiäkin tarvitaan uusien kokonaisuuksien käsitteellistämiseksi.

Matematiikan lauseilla ja käsitteillä on ankara arvojärjestys, hierarkkinen rakenne; uusi lause tai käsite perustuu aina aikaisemmille. Esimerkiksi derivaatan käsitteen ymmärtämiseksi pitää ensin tietää, mitä tarkoitetaan funktioilla, sen arvoilla ja raja-arvoilla, funktion ymmärtämiseksi taas pitää tietää, mitä ylipäätään ovat reaaliluvut, jne. Derivaatan määrittelemiseksi on siis pitänyt jo aikaisemmin määritellä mm. sellaiset käsitteet kuin erotusosamäärä, raja-arvo, funktion arvo, funktio, reaaliluku, murtoluku, kokonaisluku, jne. Monen tutun tuloksen tai käsitteen taakse jäävien tulosten ja käsitteitten kartoittaminen saattaakin olla nykyään jo käytännössä mahdotonta. Onneksi meidän ei tarvitse sitä yleensä tehdä. Käsitteet ovat oppimisen kautta konkretisoituneet ja niiden ominaisuuksista ja käytöstä meillä on valmis mielikuva ilman, että mietimme niiden alkuperää kovin pitkälle.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]