VI.5.  Jakauma ja odotusarvo

Olkoon äärellisen todennäköisyyskentän perusjoukko. Satunnaismuuttujaksi sanotaan yleisesti mitä tahansa satunnaisilmiöön liittyvää funktiota . Nopanheitossa se voi olla sama kuin tuloksena oleva silmäluku, kun taas lapsen sukupuolen määräytymisessä voidaan asettaa esimerkiksi, että ja .

Satunnaismuuttujan yhteydessä merkinnällä , missä , tarkoitetaan tapahtumaa . Tämän avulla määritellään ns. kertymäfunktio , jolle . Äärelliseen todennäköisyyskenttään liittyvän kertymäfunktion kuvaaja on aina portaittain kasvava. Se saa arvonlisäyksen kohdissa ja on näitten välillä vakiosuuruinen.

Satunnaismuuttujan tiheysfunktiolla eli frekvenssifunktiolla taas tarkoitetaan kuvausta , jolle . Tiheysfunktion saamista arvoista eli alkeistapausten todennäköisyyksistä muodostuu satunnaismuuttujan jakauma. Sitä sanotaan myös satunnaisilmiön todennäköisyysjakaumaksi.

Esimerkki 6.5.1.

Nopanheitossa perusjoukkona on ja satunnaismuuttujalle voidaan asettaa, että joukossa . Tiheysfunktio saa aina arvon ja kertymäfunktiolle on

Kertymäfunktion kuvaaja on porrasfunktio. Piirrä tiheys- ja kertymäfunktion kuvaajat.

Esimerkki 6.5.2.

Heitettäessä noppaa neljästi olkoon saatujen kuutosten lukumäärä. Tiheysfunktio saa silloin binomitodennäköisyyden mukaan arvot

Taulukoidaan tiheysfunktion ja kertymäfunktion arvot näissä pisteissä:

Alla ovat vielä tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat. Kertymäfunktion arvo kokonaislukupisteissä on ylemmällä tasolla oleva arvo.

Satunnaismuuttujan jakaumaan liittyy pari sen reaaliakselille sijoittumista kuvaavaa tunnuslukua, nimittäin odotusarvo ja keskihajonta. Satunnaismuuttujan odotusarvo on sen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, ts.

kun ja . Jakauman hajaantumista kuvaa taas keskihajonta

Esimerkki 6.5.3.

Nopanheitossa silmäluvun ilmoittavan satunnaismuuttujan odotusarvo on

Tässä tapauksessa odotusarvo ei ole ollenkaan mahdollinen tulos. Odotusarvo ei siten välttämättä ole odotettavissa oleva arvo.

Nopanheitossa keskihajonnan neliö on

joten keskihajonta on

Esimerkki 6.5.4.

Heitettäessä noppaa neljästi olkoon saatujen kuutosten lukumäärä. Tiheysfunktion arvot on taulukoitu esimerkissä 6.5.2. Odotusarvoksi saadaan siten

Yleisesti toistokokeeseen liittyvän binomijakauman odotusarvo on ja keskihajonta , kun on toistojen lukumäärä ja on tarkasteltavan tapahtuman onnistumistodennäköisyys. Todistus sivuutetaan tässä.

Esimerkki 6.5.5.

Edellisen tehtävän nopanheitossa on kyse binomijakaumasta, jossa ja . Odotusarvoksi saadaan siten ja keskihajonnaksi

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]