VI.4.  Ehdollinen todennäköisyys

Oletetaan, että todennäköisyyskentässä tapahtumalla on positiivinen todennäköisyys, . Tarkastellaan jonkin toisen tapahtuman todennäköisyyttä sillä ehdolla, että tapahtuma sattuu myös. Kyseessä on siten tapahtuman osuus tapahtumasta . Tämän perusteella ns. tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla voidaan määritellä suhteella

Ehdollinen todennäköisyys on todellakin uusi todennäköisyys perusjoukossa , sillä on varsin helppo todeta, että

(T1)   ,

(T2) , ja

(T3) jos , niin .

Esimerkki 6.4.1.

Korttipakasta vedetään kaksi korttia. Mikä on todennäköisyys, että toinen on ässä, kun ensimmäinen oli jo ässä?

Ratkaisua varten otetaan käyttöön tapahtumat = "ensimmäinen kortti on ässä" ja   = "toinen kortti on ässä". Silloin

Siten kysytty todennäköisyys on

Toki tämä todennäköisyys voidaan laskea suoraankin, kun ajatellaan, että yhden ässän poisottamisen jälkeen pakassa on 51 korttia, joista kolme on ässää:

Tehtävä. Millä todennäköisyydellä kahdella nopalla saadaan silmäluvuiksi yhteensä vähintään 10 sillä ehdolla, että ensimmäisellä saadaan viitonen?

Ehdollisen todennäköisyyden määrittelystä saadaan ns. kertolaskusääntö

.

Kahden tapahtuman ja sanotaan olevan toisistaan (stokastisesti) riippumattomia, jos . Tällöin symmetrisesti myös . Riippumattomille tapahtumillle kertolaskusääntö tulee yksinkertaisempaan muotoon

.

Huomaa, että riippumattomat tapahtumat eivät suinkaan ole erillisiä tapahtumia, vaan niiden suhteelliset osuudet toisistaan ovat samat kuin osuudet koko todennäköisyyskentässä.

Usein ehdollinen todennäköisyys voi olla helposti pääteltävissä ja silloin sitä voidaan käyttää kertolaskusäännön mukaisesti leikkaustapauksen todennäköisyyden laskemiseen.

Esimerkki 6.4.2.

Korttipakka jaetaan tasan neljälle. Mikä on todennäköisyys, että pelaajat 1 ja 2 saavat kumpikin kaksi ässää?

Ratkaisua varten merkitään, että = "pelaaja 1 saa kaksi ässää" ja = "pelaaja 2 saa kaksi ässää". Silloin otantatodennäköisyyksien mukaisesti

Tässä jälkimmäinen todennäköisyys saadaan ajattelemalla, että korttipakasta on jo otettu pois kolmetoista korttia, joista kaksi on ässää. Jäljellä on silloin kaksi ässää ja 37 muuta korttia.

Kysytty todennäköisyys on siten leikkaustapahtuman todennäköisyys

Kertolaskusääntöä voi käyttää myös toistuvasti kuten seuraavassa esimerkissä on tehty.

Esimerkki 6.4.3.

Mikä on todennäköisyys, että korttipakasta vedetään ensin hertta ( H), toiseksi risti ( R) ja kolmanneksi musta kortti ( M)?

Kysytään siis todennäköisyyttä . Se saadaan kahden ehdollisen todennäköisyyden avulla seuraavasti. Ensinnäkin

ja siten

Opiskelutehtävä 62. (Ehdollinen todennäköisyys nopilla)

Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 9 sillä ehdolla, että ainakin toisella heitoista saadaan silmäluku 5? Laske todennäköisyys sekä suoraan että käyttäen ehdollista todennäköisyyttä.

Vinkki tehtävään 62

Opiskelutehtävä 63. (Ehdollinen todennäköisyys korteilla)

Korttipakasta vedetään kolme korttia (ilman takaisinpanoa). Mikä on todennäköisyys, että ne ovat kaikki punaisia kuvakortteja? Laske todennäköisyys sekä suoraan että käyttäen ehdollista todennäköisyyttä.

Vinkki tehtävään 63

Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa perusjoukko on jaettu kahteen erilliseen osaan ja , jolloin

, .

Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että osajoukot ja muodostavat joukon osituksen. Jos nyt on jokin tapahtuma, muodostavat leikkausjoukot ja vuorostaan joukon osituksen, ts.

ja .

Siten aksiooman (T3) ja kertolaskusäännön perusteella saadaan, että

.

Tämä on ns. kokonaistodennäköisyyden kaava ja se kuvaa satunnaisilmiön etenemistodennäköisyyttä tapahtumien ja kautta tapahtumaan .

Yleistyksenä useammalle 'välitapahtumalle' saadaan, että jos

on perusjoukon jako pistevieraisiin osiin eli se on joukon ositus, pätee tapahtuman todennäköisyydelle, että

Esimerkki 6.4.4.

Kolmessa laatikossa on valkoisia ja mustia palloja seuraavasti:

Umpimähkään valitusta laatikosta nostetaan summassa yksi pallo. Millä todennäköisyydellä se on valkoinen?

Kun merkitään, että = "valitaan laatikko i" (  ) ja = "saadaan valkoinen pallo", saadaan kysytyksi kokonaistodennäköisyydeksi

Opiskelutehtävä 64. (Kokonaistodennäköisyys)

Luvuista 1, …, 6 arvotaan yksi, olkoon se . Luvuista 1, …, arvotaan sen jälkeen yksi. Mikä on todennäköisyys, että se on nelonen?

Vinkki tehtävään 64

Opiskelutehtävä 65. (Käänteinen todennäköisyys lapsilla)

Kaksilapsisesta perheestä tiedetään, että toinen lapsista on tytär. Millä todennäköisyydellä perheen toinen lapsi on poika? Jos lisäksi tiedetään, että toinen lapsi on nuorempi kuin em. tytär, mikä on silloin todennäköisyys, että hän on poika?

Vinkki tehtävään 65

Kun perusjoukko on jaettu kahtia, saadaan kokonaistodennäköisyyden kaavasta

että esimerkiksi

Tämä on ns. käänteistodennäköisyys eli Bayesin kaava. Se vastaa siis kysymykseen, mikä on todennäköisyys, että tapahtuma on sattunut tapahtuman kautta. Vastaavasti määritellään käänteistodennäköisyys tapahtumalle .

Kuten kokonaistodennäköisyyden kaava yleistyy käänteistodennäköisyyden kaava useammalle kuin kahdelle osajoukolle. Jos on perusjoukon ositus, niin

Esimerkki 6.4.5.

Oletetaan, että edellisen esimerkin 6.4.5 asetteluin nostetuksi palloksi on tullut valkoinen pallo. Mikä on todennäköisyys, että se oli nostettu ensimmäisestä laatikosta?

Nyt kysytään ehdollista todennäköisyyttä . Koska

vastaus on

Samaan tapaan määrätään todennäköisyydet, että valittu pallo on tullut toisesta tai kolmannesta laatikosta:

Huomaa, että laskettujen käänteistodennäköisyyksien summa on tasan yksi kuten pitääkin.

Opiskelutehtävä 66. (Käänteinen todennäköisyys tehdaskoneilla)

Tehtaassa on kaksi konetta, jotka valmistavat tiettyä tuotetta suhteessa 3:2. Edellinen kone tekee virheellisiä tuotteita todennäköisyydellä 0.01 ja jälkimmäinen todennäköisyydellä 0.02. Mikä on todennäköisyys, että virheelliseksi havaittu tuote on edellisen koneen tekemä? Entä jälkimmäisen?

Vinkki tehtävään 66

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]