Tehtävän 21 ratkaisu

Ratkaisutapa 1. Jos n ei ole alkuluku, on se yhdistetty luku. Kun n on yhdistetty luku, on olemassa kokonaisluvut r ja s siten, että ja . Luvut r ja s ovat joko yhtä suuria tai sitten toinen niistä on suurempi kuin toinen. Voidaan olettaa r pienemmäksi tai yhtä suureksi kuin s, ts. . Nyt r on alkuluku tai sillä on alkutekijä. Valitaan tämä alkuluku tai alkutekijä luvuksi p. Nyt ja , joten lauseen 2.2.3 kohdan (a) mukaan . Koska joko tai , niin . Toisaalta , joten . Koska , niin saadaan mitä haluttiinkin eli että .

Ratkaisutapa 2. Aritmetiikan peruslauseen 2.4.4 nojalla yhdistetylle luvulle n on olemassa esitys alkulukujen tulona:

, missä kaikilla indekseillä i ().

Koska n ei ole alkuluku, on sen alkutekijäesityksessä oltava vähintään kaksi alkulukua (eri suurta tai yhtä suurta). Merkitään ja . Nyt , sillä s sisältää vähintään yhden alkutekijän, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin luku p. Lisäksi nyt , joten , mikä todistaa väitteen.

[Opiskelutehtävä 21] [Vinkki tehtävään 21]

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]