Käytännön optimointiongelmissa täytyy yleensä selvittää funktion todellinen suurin tai pienin arvo: halutaan esim. maksimoida myyntivoitto tai minimoida tuotantokustannukset.
Funktiolla 
on kohdasssa 
suurin arvo (pienin arvo) 
, jos funktion 
jokainen arvo 
toteuttaa ehdon 
(
). On huomattava, että funktiolla ei aina ole suurinta tai pienintä arvoa. Esimerkiksi funktiolla 
on pienin arvo 
, mutta sillä ei ole suurinta arvoa. Funktiolla 
ei ole suurinta eikä pienintä arvoa.
Olkoon funktio 
jatkuva suljetulla välillä 
. Tällöin funktio saa aina suurimman ja pienimmän arvonsa sekä kaikki niiden välissä olevat arvot. Jos funktion pienin arvo on 
ja suurin arvo 
, funktion arvojoukko on 
.
Suljetulla välillä jatkuvan funktion 
suurin tai pienin arvo voi olla
• välillä olevassa derivaatan nollakohdassa,
• kohdassa, jossa funktio 
ei ole derivoituva tai
Koska tiedetään, että suurin ja pienin arvo löytyvät joistakin em. kohdista, niiden löytämiseksi riittää etsiä kaikki mahdolliset kohdat, joissa suurin tai pienin arvo voi olla, laskea funktion arvo näissä kohdissa ja valita arvoista suurin ja pienin.
Määrää funktion 
suurin ja pienin arvo välillä 
.
Funktio 
on jatkuva ja derivoituva tällä välillä, joten sillä on suurin ja pienin arvo ja ne voivat olla ainoastaan välin päätepisteissä sekä derivaatan nollakohdissa. Funktion 
derivaatta on
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
Lasketaan funktion arvot mahdollisissa ääriarvokohdissa.
Vastaus: Funktion 
pienin arvo on 
ja suurin arvo 
.
Meren rannalla on muuntaja A, josta on vedettävä sähkökaapeli saareen B. Kaapelointikustannukset kilometriä kohti ovat merellä 1,4-kertaiset verrattuna kustannuksiin maalla. Mikä on kaapelin edullisin reitti muuntajalta saareen?
Kaapeli täytyy vetää niin, että ensin sitä vedetään rantaviivaa pitkin jonkin matkaa ja sitten tästä pisteestä suoraan saareen. Muulla tavoin tulisi aina ylimääräistä maa- tai merimatkaa. 
Muodostetaan funktio, joka ilmoittaa kaapelointikustannukset. Olkoot kaapelointikustannukset maalla 
(mk/km) ja merellä 
(mk/km). Kun valitaan muuttuja 
oheisen kuvan osoittamalla tavalla, saadaan kaapelointikustannuksiksi
Kustannusfunktio saa pienimmän arvonsa, kun funktio
saa pienimmän arvonsa. Tämä on määrittelyjoukossaan jatkuva ja derivoituva funktio, joten sillä on pienin arvo, joka voi olla vain määrittelyvälin päätepisteessä tai derivaatan nollakohdassa.
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
Lasketaan funktion 
arvo kaikissa mahdollisissa ääriarvokohdissa.
Vastaus: Kaapelia kannattaa vetää n. 4,9 (km) rantaa pitkin ja tästä suoraan saareen.
Jos funktio ei ole määritelty suljetulla välillä tai se ei ole jatkuva, sillä ei välttämättä ole suurinta tai pienintä arvoa. Tällöin on vain tutkittava funktion kulkua (monotonisuus, lokaalit ääriarvot) derivaatan ja raja-arvotarkastelujen avulla sekä pääteltävä saatujen tietojen perusteella suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo.
Palataan sivulla 92 esitettyyn esimerkkiin 4.8. Printterit Oy tuo maahan ja myy laserkirjoittimia. Esimerkin perusteella yrityksen vuosittaiset kustannukset 
(mk/vuosi) riippuvat maahantuontierän koosta 
(kpl/erä) noudattaen funktiota
Määrää se eräkoko, jolla yrityksen vuosittaiset kustannukset ovat mahdollisimman pienet.
Kustannusfunktio on määrittelyjoukossaan derivoituva, joten sen ainoat mahdolliset ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdat. Kustannusfunktion derivaatta on
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
Tutkitaan ääriarvon laatu derivaatan merkkikaavion avulla. Derivaatan merkin eri väleillä voi tässä selvittää esim. kokeilemalla.
Kaavion perusteella derivaatan nollakohdassa kustannusfunktiolla on myös pienin arvo.
Vastaus: Yrityksen vuosittaiset kustannukset ovat mahdollisimman pienet, kun tuontierän koko on 159 (kpl/erä).
25. Millä 
:n arvoilla funktio 
on kasvava?
26. Millä 
:n arvoilla funktio 
on vähenevä?
lokaalit ääriarvot. Mitkä ovat funktion kuvaajan asymptootit? Piirrä funktion kuvaaja.
32. Tutki, kuinka monta reaalijuurta on yhtälöllä 
?
33. Määrää funktion 
suurin ja pienin arvo välillä 
.
34. Lausekkeen 
suurin arvo välillä 
on 76. Määrää vakio 
.
35. Määrää lausekkeen 
suurin arvo.
36. Millä vakion 
arvoilla funktio 
saa vain positiivisia arvoja?
37. Kirjakauppa ostaa kustantajalta Kalle Päätalon romaania Juoksuhautojen jälkeen hintaan 80 (mk/kpl). Kirjaa myydään hinnalla 160 (mk/kpl) 300 (kpl/kk). Kirjakauppa suunnittelee kuitenkin kirjan hinnan alentamista lisätäkseen sen myyntiä. Arvioidaan, että jokaista markan alennusta kohti romaanin myynti kasvaa 10 (kpl/kk). Mihin hintaan kirja pitäisi myydä, jotta saataisiin mahdollisimman suuri myyntivoitto?
38. Kivi sinkoutuu 
kulmassa 98 metrin päähän. Kuinka korkealla kivi käy, jos lentorata oletetaan paraabelin muotoiseksi?
39. Uuden oppikirjan menekin arvioidaan olevan tasaisesti 5000 (kpl/vuosi). Kirjojen painamiskustannukset ovat 7250 (mk/painos) (eivät riipu painoksen koosta) ja 30 (mk/kpl). Kirjojen varastointikustannukset ovat 6 (%/vuosi) varastoon sitoutuneen pääoman arvosta. Mikä on se painoskoko, jolla oppikirjojen painamisesta ja varastoinnista aiheutuvat vuosittaiset kustannukset ovat mahdollisimman pienet?
40. Tehtaassa ryhdytään valmistamaan kannetonta litran vetoista suorakulmaisen särmiön muotoista peltiastiaa, jonka pohjana on neliö. Kuinka suureksi on valittava astian korkeuden ja pohjasärmän suhde, jotta peltiä kuluisi mahdollisimman vähän? (YO73S)
41. Olkoon yrityksen tuotantonopeus 
(kpl/kk). Oletetaan, että kuukausittaiset myyntitulot 
(mk/kk) noudattavat funktiota 
. Oletetaan lisäksi, että tuotantokustannukset 
(mk/kk) tuotantonopeuden 
(kpl/kk) funktiona ovat 
.
(a) Mitkä ovat funktioiden määrittelyissä esiintyvien vakioiden mittayksiköt?
(b) Millä tuotantonopeudella yrityksen kuukausivoitto maksimoituu?
42. Suunnistaja on polulla, joka kulkee suoraan koilliseen. Muu lähimaasto on metsää, jossa kulkunopeus on 60 % nopeudesta polulla. Seuraava rasti on suunnistajan sijaintikohdasta 1000 (m) itään ja 200 (m) pohjoiseen. Mikä on nopein reitti seuraavalle rastille?
: 
