Funktiolla 
on kohdassa 
lokaali minimi (lokaali maksimi) 
, jos kohdan 
läheisyydessä jokaisessa pisteessä 
on voimassa 
(
). Kohtaa 
kutsutaan tällöin
ääriarvokohdaksi (minimi- tai maksimikohta) ja funktion arvoa 
ääriarvoksi (minimi- tai maksimiarvo).
Olkoon funktio 
jatkuva. Tällöin kohta, jossa funktio muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi, on funktion minimikohta. Jos funktio 
muuttuu kohdassa päinvastoin aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi, kohta on funktion maksimikohta. Tällainen kohta voi olla derivaatan nollakohta, johon piirretty tangentti on vaakasuora, tai kohta, jossa funktio ei ole derivoituva (esim. kärkikohta). Jos siis funktio 
on jatkuva kohdassa 
ja derivoituva jossakin tämän kohdan ympäristössä, niin kohta 
, jossa 
tai 
ei ole derivoituva, on
• minimikohta, jos 
muuttuu tässä kohdassa negatiivisesta positiiviseksi.
• maksimikohta, jos 
muuttuu tässä kohdassa positiivisesta negatiiviseksi.
Funktio 
on määritelty koko reaalilukujen joukossa ja se on rationaalifunktiona tässä joukossa derivoituva. Funktion ainoat mahdolliset ääriarvokohdat ovat siten derivaatan nollakohdat. Funktion derivaatta on
Lasketaan derivaatan nollakohdat.
Laaditaan derivaatan merkkikaavio, jonka avulla voidaan tutkia ääriarvon laatu mahdollisissa ääriarvokohdissa.
Koska funktio 
muuttuu kohdassa 
aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi, kohta 
on minimikohta ja funktion minimiarvo tässä kohdassa on
Kohdassa 
funktio 
muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi, joten 
on funktion maksimikohta. Funktion maksimiarvo on tässä kohdassa
Vastaus: Funktion 
ääriarvot ovat: minimi 
ja maksimi 
.
Oheiseen kuvaan on piirretty edellisen esimerkkifunktion kuvaaja. Tarkastellaan seuraavaksi lähemmin rationaalifunktion kuvaajan piirtämistä.
Rationaalifunktion kuvaajan piirtämistä varten on tärkeää tietää, mitä funktion arvoille tapahtuu 
:ssä. Tämän ilmoittaa funktion
raja-arvo äärettömyydessä.
Funktiolla 
on raja-arvo 
, kun muuttujan arvot kasvavat rajatta, jos aina jostakin muuttujan arvosta lähtien funktion 
arvot saadaan miten tahansa lähelle lukua 
. Tätä raja-arvoa merkitään
Vastaavasti sanotaan, että funktiolla 
on raja-arvo 
, kun muuttujan arvot vähenevät rajatta, jos aina jotakin muuttujan arvoa pienemmillä luvuilla funktion 
arvot saadaan miten tahansa lähelle lukua 
. Tätä raja-arvoa merkitään
Raja-arvon määrittämistä varten otetaan sekä osoittajassa että nimittäjässä korkeinta astetta oleva muuttujan potenssi yhteiseksi tekijäksi ja supistetaan. Raja-arvo saadaan määrättyä, kun tämän jälkeen käytetään tietoa
Otetaan tässäkin sekä osoittajassa että nimittäjässä korkeinta astetta oleva muuttujan potenssi yhteiseksi tekijäksi ja supistetaan. Päätellään raja-arvo jäljelle jäävästä lausekkeesta.
Rationaalifunktion kuvaajalla on aina vähintään yksi
asymptootti, joka on sellainen suora tai käyrä, jota funktion kuvaaja jatkuvasti lähestyy, mutta ei koskaan saavuta. Jokaisella rationaalifunktiolla on asymptootti, joka kuvaa funktion kulkua 
:ssä. Lisäksi rationaalifunktion kuvaajalla on pystysuora asymptootti jokaisessa nimittäjän nollakohdassa. Lähestyttäessä tätä kohtaa oikealta tai vasemmalta, funktion arvot aina kasvavat tai vähenevät rajatta. (Tässä oletetaan, että rationaalifunktion lauseke on supistetussa muodossa.)
Rationaalifunktion kulkua 
:ssä kuvaava asymptootti riippuu osoittajan ja nimittäjän asteluvuista.
• Jos osoittaja on alempaa astetta kuin nimittäjä, asymptoottina on 
-akseli eli suora 
. Tällöin funktion raja-arvo 
:ssä on aina nolla (vrt. esim. 5.25).
• Jos rationaalifunktion 
osoittaja ja nimittäjä ovat samaa astetta, funktion kuvaajalla on asymptoottina 
-akselin suuntainen suora 
, missä
• Jos rationaalifunktion osoittajan asteluku on suurempi kuin nimittäjän asteluku, sen kuvaajalla on asymptoottina suora tai käyrä, jonka yhtälö saadaan suorittamalla jakolasku ja "unohtamalla" jakojäännöstermi, joka lähestyy aina nollaa, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta. Esimerkiksi funktio
(Saatu suorittamalla jakolasku jakokulmassa.) Kun 
, 
, jolloin funktion kuvaaja lähestyy suoraa 
, mikä on funktion kuvaajan asymptootti.
Rationaalifunktion kuvaaja voidaan hahmottaa selvittämällä funktion monotonisuus sekä kuvaajan ääriarvopisteet ja asymptootit.
Edellä tehdyn tarkastelun perusteella funktion kuvajalla on asymptoottina suora 
. Koska kohta 
on funktion nimittäjän nollakohta, sen kuvaajalla on asymptoottina pystysuora suora 
.
Selvitetään vielä funktion monotonisuus sekä lokaalit ääriarvot. Funktio 
on derivoituva määrittelyjoukossaan, joten sen ainoat mahdolliset ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdat. Funktion derivatta on
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
Selvitetään funktion monotonisuus sekä ääriarvojen laatu derivaatan merkkikaavion avulla.
Kaavion perusteella funktio 
muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi kohdassa 
, joten funktiolla on lokaali maksimi 
. Kohdassa 
funktio 
muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi, joten funktiolla on tässä kohdassa lokaali minimi
Koska funktion kuvaajalla on pystysuora asymptootti 
ja funktio on aidosti vähenevä, kun 
, funktion arvot vähenevät rajatta, kun 
vasemmalta eli
Kun 
, funktio 
on myös aidosti vähenevä. Koska 
on kuvaajan asymptootti, funktion arvot kasvavat rajatta, kun lähestytään kohtaa 
oikealta eli
Funktion käyttäytymisen kohdan 
läheisyydessä voi päätellä myös tutkimalla funktion lauseketta. Kun 
lähestyy lukua 1 vasemmalta, funktion osoittaja lähestyy lukua 1 ja nimittäjä lukua 0 ollen koko ajan negatiivinen, jolloin osamäärä vähenee rajatta. Kun 
:n arvot lähestyvät lukua 1 oikealta, osoittaja lähestyy edelleen lukua 1 ja nimittäjä lukua 0, mutta nyt nimittäjä on positiivinen, jolloin osamäärä kasvaa rajatta.
Funktion kuvaajan voi nyt piirtää asymptoottien, ääriarvojen sekä monotonisuuden avulla. Jos haluaa tarkemman kuvan, voi laskea kuvaajalta joitakin lisäpisteitä.
. 
. 
, kun 
. Esimerkiksi
, kun 
.
. 
. 
. 
. 
.