Jos tietyllä välillä jatkuvan funktion kuvaajalle piirretyt tangentit ovat nousevia suoria, funktio on tällä välillä aidosti kasvava. Kuvasta nähdään, että välillä saa olla yksittäisiä pisteitä (ei kokonaista väliä), joissa tangentti on vaakasuora tai joissa funktio ei ole derivoituva (kärkikohta tai tangentti pystysuora).
Jos funktio 
on jatkuva suljetulla välillä 
ja 
koko välillä lukuunottamatta yksittäisiä pisteitä, joissa 
tai 
ei ole derivoituva, niin funktio 
on aidosti kasvava välillä 
.
Vastaavasti, jos tietyllä välillä jatkuvan funktion kuvajalle piirretyt tangentit ovat laskevia suoria, funktio on tällä välillä aidosti vähenevä. Välillä saa olla erillisiä pisteitä (ei kuitenkaan kokonaista väliä), joihin piirretty tangentti on vaakasuora tai joissa funktio ei ole derivoituva. Kuva osoittaa, että funktio on edelleen aidosti vähenevä.
Jos funktio 
on jatkuva suljetulla välillä 
ja 
koko välillä lukuunottamatta yksittäisiä pisteitä, joissa 
tai 
ei ole derivoituva, niin funktio 
on aidosti vähenevä välillä 
.
Millä väleillä polynomifunktio 
on (a) aidosti kasvava (b) aidosti vähenevä? Piirrä myös tämän funktion kuvaaja.
Tutkitaan funktion kasvamista ja vähenemistä derivaatan merkkikaavion avulla. Funktion derivaatta on 
. Derivaatan merkkikaavion laatimista varten lasketaan derivaatan nollakohdat.
Päätellään funktion kasvaminen ja väheneminen seuraavasta derivaatan merkkikaaviosta:
Vastaus: Polynomifunktio 
on aidosti kasvava, kun 
, ja aidosti vähenevä, kun 
. Funktion kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria derivaatan nollakohdissa 
ja 
. Funktion arvot näissä kohdissa ovat 
ja 
. Funktion kuvaajan voi hahmottaa näiden tietojen perusteella.
