[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Samalla tavoin kuin edellä muodostettiin kappaleen hetkellinen nopeus voidaan määritellä minkä tahansa funktion hetkellinen kasvunopeus. Olkoon
jokin muuttujan
funktio. Funktion
keskimääräinen kasvunopeus
välillä
on
Geometrisesti tulkittuna funktion keskimääräinen kasvunopeus on funktion kuvaajan pisteiden ja
kautta kulkevan suoran eli
sekantin kulmakerroin.
Funktion
hetkellinen kasvunopeus
kohdassa
on keskinopeuden
raja-arvo, kun
, jolloin
:
Kun merkitään ja
, saadaan funktion
hetkellisen kasvunopeuden määritelmä muotoon:
Kun , sekantin ja funktion kuvaajan toinen leikkauspiste lähestyy pistettä
, jolloin sekantti kiertyy tähän pisteeseen piiretyn tangentin suuntaiseksi. Geometrisesti tulkittuna funktion hetkellisen nopeuden mittari kohdassa
on tähän kohtaan funktion kuvaajalle piirretyn
tangentin eli sivuajan
kulmakerroin. Mitä jyrkemmin nouseva suora tangentti on sitä suurempi on sen kulmakerroin ja sitä voimakkkaammin funktion arvot kasvavat tässä kohdassa. Jos tangentti on laskeva suora, funktion kasvunopeus on negatiivinen eli funktion arvot vähenevät muuttujan arvojen kasvaessa.
Funktion kasvunopeutta ei mitata aina ajan suhteen vaan yleisesti funktion argumentin suhteen. Tällöin kasvunopeuden mittayksikkö ei myöskään ole aikaan suhteutettu.
Yrityksessä erään tuotteen menekki (kpl/vrk) riippuu sen yksikköhinnasta
(mk/kpl) noudattaen funktiota
Määrää menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus hinnan suhteen, kun tuotteen yksikköhinta on 10 (mk/kpl.)
Menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus hinnan suhteen, kun (mk/kpl) on raja-arvo
Jätetään raja-arvon määrityksessä mittayksiköt selvyyden vuoksi pois. Lukija varmistakoon, että menekkifunktio on yksiköiden puolesta hyvin määritelty. Menekkifunktion kasvunopeuden yksikkö on menekin ja yksikköhinnan mittayksiköiden osamäärä .
Vastaus: Kun yksikköhinta on 10 (mk/kpl), menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus on . Nopeuden negatiivisuuden perusteella hinnan noustessa tuotteen menekki laskee.
Erään yrityksen tuotanto (tonnia) ajan
(h) funktiona on
Määrää yrityksen hetkellinen tuotantonopeus, kun tuotannon aloittamisesta on kulunut 2 (h).
Yrityksen hetkellinen tuotantonopeus hetkellä (h) on raja-arvo
Tuotantonopeuden mittayksikkö on tuotannon määrän yksikön ja ajan yksikön osamäärä eli (tonnia/h). Jätetään raja-arvon määrityksessä selvyyden vuoksi mittayksiköt pois.
Kun (h), yrityksen hetkellinen tuotantonopeus on 6 (tonnia/h).
10. Auto kiihdyttää ohituksessa, jolloin sen kulkema matka noudattaa funktiota
missä on ohituksen aloittamisesta kulunut aika. Laske auton nopeus 2 (s) kuluttua ohituksen alkamisesta.
11. Erään tuotteen kuukausittaiset myyntitulot (mk/kk) riippuvat sen yksikköhinnasta
(mk/kpl) noudattaen funktiota
Määrää tuotteen myyntitulojen kasvunopeus hinnan suhteen, kun sen yksikköhinta on 25 (mk/kpl).