5.3.2. Funktion kasvunopeus

Samalla tavoin kuin edellä muodostettiin kappaleen hetkellinen nopeus voidaan määritellä minkä tahansa funktion hetkellinen kasvunopeus. Olkoon jokin muuttujan funktio. Funktion keskimääräinen kasvunopeus välillä on

Geometrisesti tulkittuna funktion keskimääräinen kasvunopeus on funktion kuvaajan pisteiden ja kautta kulkevan suoran eli sekantin kulmakerroin.

Funktion hetkellinen kasvunopeus kohdassa on keskinopeuden raja-arvo, kun , jolloin :

Kun merkitään ja , saadaan funktion hetkellisen kasvunopeuden määritelmä muotoon:

Kun , sekantin ja funktion kuvaajan toinen leikkauspiste lähestyy pistettä , jolloin sekantti kiertyy tähän pisteeseen piiretyn tangentin suuntaiseksi. Geometrisesti tulkittuna funktion hetkellisen nopeuden mittari kohdassa on tähän kohtaan funktion kuvaajalle piirretyn tangentin eli sivuajan kulmakerroin. Mitä jyrkemmin nouseva suora tangentti on sitä suurempi on sen kulmakerroin ja sitä voimakkkaammin funktion arvot kasvavat tässä kohdassa. Jos tangentti on laskeva suora, funktion kasvunopeus on negatiivinen eli funktion arvot vähenevät muuttujan arvojen kasvaessa.

Funktion kasvunopeutta ei mitata aina ajan suhteen vaan yleisesti funktion argumentin suhteen. Tällöin kasvunopeuden mittayksikkö ei myöskään ole aikaan suhteutettu.

Esimerkki 5.9.

Yrityksessä erään tuotteen menekki (kpl/vrk) riippuu sen yksikköhinnasta (mk/kpl) noudattaen funktiota

Määrää menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus hinnan suhteen, kun tuotteen yksikköhinta on 10 (mk/kpl.)

Ratkaisu:

Menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus hinnan suhteen, kun (mk/kpl) on raja-arvo

Jätetään raja-arvon määrityksessä mittayksiköt selvyyden vuoksi pois. Lukija varmistakoon, että menekkifunktio on yksiköiden puolesta hyvin määritelty. Menekkifunktion kasvunopeuden yksikkö on menekin ja yksikköhinnan mittayksiköiden osamäärä .

Vastaus:   Kun yksikköhinta on 10 (mk/kpl), menekkifunktion hetkellinen kasvunopeus on . Nopeuden negatiivisuuden perusteella hinnan noustessa tuotteen menekki laskee.

Esimerkki 5.10.

Erään yrityksen tuotanto (tonnia) ajan (h) funktiona on

Määrää yrityksen hetkellinen tuotantonopeus, kun tuotannon aloittamisesta on kulunut 2 (h).

Ratkaisu:

Yrityksen hetkellinen tuotantonopeus hetkellä (h) on raja-arvo

Tuotantonopeuden mittayksikkö on tuotannon määrän yksikön ja ajan yksikön osamäärä eli (tonnia/h). Jätetään raja-arvon määrityksessä selvyyden vuoksi mittayksiköt pois.

Kun (h), yrityksen hetkellinen tuotantonopeus on 6 (tonnia/h).

Vastaus:   6 (tonnia/h)

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]