5.3.1. Kappaleen nopeus

Tarkastellaan suoraviivaisessa liikkeessä olevan kappaleen kulkemaa matkaa ajan funktiona. Matka on mitattu pisteestä lähtien. Hetkellä kappale on pisteessä ja sen kulkema matka on . Hetkellä kappale on pisteessä ja sen kulkema matka on . Kappaleen keskinopeus aikavälillä saadaan jakamalla kappaleen kulkema matka siihen käytetyllä ajalla :

Oheiseen koordinaatistoon on piirretty tämän kappaleen kulkema matka ajan funktiona. Kappaleen keskinopeus aikavälillä , joka on

on geometrisesti tulkittuna matkafunktion kuvaajan pisteiden ja kautta kulkevan sekantin kulmakerroin.

Kappaleen hetkellinen nopeus ajanhetkellä saadaan sen keskinopeuden raja-arvona, kun annetaan aikavälin lähestyä nollaa, jolloin . Kappaleen hetkellinen nopeus , kun on siten

Kun , matkafunktion kuvaajalle piirretty sekantti kiertyy pisteeseen piirretyn tangentin (sivuajan) suuntaiseksi. Koska kappaleen keskinopeus aikavälillä on tuon sekantin kulmakerroin, on keskinopeuden raja-arvo - kappaleen hetkellinen nopeus - pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin.

Esimerkki 5.8.

Kohtisuoraan ylöspäin heitetyn pallon korkeus (m) ajan (s) funktiona on

Laske pallon nopeus 1 (s) kuluttua heittohetkestä.

Ratkaisu:

Pallon hetkellinen nopeus 1 (s) kuluttua heitosta on edellä johdetun määritelmän nojalla

Sijoitetaan pallon korkeuden ilmoittava funktio lausekkeeseen ja lasketaan nopeuden antava raja-arvo. On helppo havaita, että korkeusfunktio on yksiköiden puolesta hyvin määritelty. Jätetään raja-arvon määrityksessä mittayksiköt selvyyden vuoksi pois.

Raja-arvon ottaminen ei vaikuta mittayksiköihin. Koska pallon nopeus saatiin raja-arvona lausekkeelle , jonka mittayksikkö on (m/s), on pallon nopeus (m/s).

Vastaus:   Pallon nopeus on 1 (s) kuluttua heittohetkestä (m/s). Nopeuden negatiivisuus kertoo, että pallon suunta on tällöin alaspäin.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]