4.7.2. Radiaani

Kulman suuruus voidaan ilmoittaa myös muiden yksiköiden kuin asteen avulla. Yleisesti käytetään ns. absoluuttista kulmanyksikköä eli radiaania. Kun kulman suuruutta mitataan radiaaneina, kulma sijoitetaan origokeskiseen yksikköympyrään (keskipiste (0,0) ja säde 1) siten, että kulman kärki on origossa ja toinen kylki positiivisella -akselilla. Tätä kylkeä kutsutaan kulman alkukyljeksi. Kulman ajatellaan syntyvän tämän alkukyljen kiertona. Saavutettu loppuasento on kulman loppukylki.

Loppukyljen ja ympyrän kehän leikkauspiste on kulmaa vastaava kehäpiste. Kutakin yksikköympyrään piirrettyä kulmaa vastaa tietty kehäpisteen kulkema matka eli yksikköympyrän kaaren pituus. Koska yksikköympyrään sijoitetun kulman suuruus on suoraan verrannollinen vastaavan kaaren pituuteen, sitä voidaan käyttää kulman suuruuden mittana. Uusi kulmanyksikkö määritellänkin siten, että kulman suuruus radiaaneina on yksikköympyrään piirrettyä kulmaa vastaavan kaaren pituus. Lisäksi sovitaan, että kulma on positiivinen, kun kierto on tapahtunut vastapäivään ja negatiivinen, kun kierto on tapahtunut myötäpäivään.

Kulman muodostuessa kylki voi kiertyä useampiakin kierroksia. Jos kulma muodostuu esimerkiksi kiertymällä kolme kierrosta vastapäivään, sen suuruus on radiaania, sillä yhtä kierrosta vastaava yksikköympyrän kehän pituus on .

Kun kulman suuruus ilmoitetaan radiaaneina, ei yleensä käytetä mitään yksikkömerkintää. Jos halutaan korostaa, että kulman mittayksikkö on radiaani, siitä käytetään lyhennettä (rad). Kulman eri yksiköiden, asteen ja radiaanin, välinen yhteys saadaan tarkastelemalla täyskulmaa . Sitä vastaa yksikköympyrän kehän pituus . Yhtälöstä (rad) saadaan jakamalla se puolittain :lla

mikä ilmoittaa yhden asteen radiaaneina. Kun yhtälö (rad) jaetaan puolittain luvulla , saadaan

mikä puolestaan ilmoittaa yhden radiaanin asteina.

Esimerkki 4.35.

(a) Muuta radiaaneiksi.

(b) Muuta radiaania asteiksi.

Ratkaisu:

(a)

(b)

Vastaus:   (a) (rad)   (b)

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]