4.7.3. Trigonometriset funktiot

Trigonometristen funktioiden määritelmät

Jatkossa käytetään kulman yksikkönä pelkästään radiaania ja sen yksikkömerkintä (rad) jätetään pois. Määritellään trigonometriset funktiot uudelleen näille kulmille, joiden suuruus on annettu radiaaneina. Tällä tavoin saadaan trigonometrisista funktioista reaalimuuttujan funktioita. Olkoon yksikköympyrään piirrettyä kulmaa vastaava kehäpiste . Asetetaan uudet määritelmät niin, että terävien kulmien tapauksessa ne yhtyvät suorakulmaisen kolmion sivujen suhteisiin perustuviin määritelmiin.

Seuraavassa esimerkissä on laskettu näiden määritelmien avulla joidenkin tavallisten kulmien trigonometristen funktioiden arvot.

Esimerkki 4.36.

Trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja eräille tavallisille kulmille löytyy taulukkokirjoista. Funktioiden likiarvot voidaan määrittää laskimella. Kun laskimella määritetään radiaaneina ilmaistun kulman sinin, kosinin tai tangentin arvoja, on laskin ensin asetettava radiaanitilaan. Sen tunnuksena on laskimen näytössä R-kirjain tai lyhenne RAD. Yleensä radiaanitilaan päästään DRG-näppäimellä, jota painellaan, kunnes ollaan halutussa tilassa. (DRG-näppäimen tilat vastaavat kolmea eri kulmanyksikköä. D-tilassa kulman yksikkö on aste (engl. degree), R-tilassa radiaani ja G-tilassa graadi. [ Graadi eli gooni (gon) on ns. uusaste, joka on suoran kulman sadasosa. Sitä käytetään mm. maanmittaustekniikassa. ]) Eräissä laskimissa eri kulmanyksikkötilat valitaan omasta valikosta.

Esimerkki 4.37.

Määrää likiarvot

(a)

(b)

(c)

Vastaus: Likiarvot ovat (a) 0,342 (b) 0,913 (c)

Trigonometristen funktioiden määrittely- ja arvojoukot

Trigonometristen funktioiden ja määrittely- ja arvojoukot voidaan päätellä niiden määritelmistä. Sini- ja kosinifunktiot on määritelty kaikilla reaaliarvoilla. Koska niiden arvo on yksikköympyrän kehäpisteen - tai -koordinaatti, joka kuuluu aina välille , on sini- ja kosinifunktiolle voimassa

Tangenttifunktio

on määritelty ainoastaan, kun . Koska kosinifunktio saa arvon nolla, kun

on tangenttifunktio määritelty, kun , missä . Koska tangenttifinktio on sinin ja kosinin osamäärä, joka voi saada kaikki mahdolliset reaaliarvot, on tangenttifunktion arvojoukko reaalilukujen joukko. Seuraavassa taulukossa on yhteenveto trigonometristen funktioiden määrittely- ja arvojoukoista.

Kulman trigonometristen funktioiden merkit voidaan päätellä, kun tiedetään, mihin neljännekseen kulman loppukylki kuuluu. Seuraavista kuvioista ilmenee sinin, kosinin ja tangentin merkit eri neljänneksissä.

Trigonometristen funktioiden jaksollisuus

Trigonometristen funktioiden tärkein ominaisuus on niiden jaksollisuus. Se ilmenee parhaiten, kun tarkastellaan funktioiden kuvaajia. Oheisessa kuvassa ovat sini- ja kosinifunktion kuvaajat. Kummankin funktion kuvaajat toistuvat samanlaisina :n välein. Sanotaan, että funktioiden perusjakso on . Sinifunktion arvohan on kulmaa vastaavan kehäpisteen -koordinaatti ja kosinin -koordinaatti. Kun loppukylki on kiertänyt täyden kierroksen eli kulman verran, kehäpiste palaa takaisin alkupisteeseen ja aloittaa saman kierroksen alusta. Siten sekä sini- että kosinifunktion arvot toistuvat samanlaisina :n välein:

Tangentti on myös jaksollinen funktio. Sen perusjakso on :

Oheisesta tangenttifunktion kuvaajasta ilmenee, kuinka se saa saman arvon aina :n välein.

Jaksollisuutensa ansiosta trigonometriset funktiot toimivat matemaattisena mallina erilaisille jaksollisille ilmiöille. Tällaisia ovat esim. heilurin liike tasapainoasemansa molemmin puolin, vaihtovirta ja -jännite, vuorovesi, Maan pyörähdysliike akselinsa ympäri ja kiertoliike Auringon ympäri sekä taloustieteessä suhdannekierto ym. jaksolliset vaihtelut. Uusilla trigonometrian sovellusaloilla ei siis ole paljonkaan tekemistä kolmioiden tai kulmien kanssa.

Esimerkki 4.38.

Vuoroveden takia satamassa veden korkeus (m) noudattaa funktiota

missä on keskiyöstä kulunut aika tunteina. Kuinka korkealla sataman vesi on (a) klo 8.00 (b) klo 14.00?

Ratkaisu:

(a) Kun (h), korkeus on

(b) Kun (h), korkeus on

Vastaus: (a) 5,0 (m) (b) 9,0 (m)

Trigonometristen funktioiden symmetriaominaisuudet

Sini- ja kosinifunktiolla on useita symmetriaan perustuvia ominaisuuksia. Tarkastellaan ensin kulmia ja , joiden loppukyljet sijaitsevat symmetrisesti -akseliin nähden. Kulmia vastaavien kehäpisteiden -koordinaatit ovat samat, joten kulmien kosinit ovat yhtäsuuret:

Koska kulmia ja vastaavien kehäpisteiden -koordinaatit ovat toistensa vastalukuja, on voimassa

Tarkastellaan sitten kulmia ja , joita vastaavat kehäpisteet sijaitsevat symmetrisesti -akselin suhteen. Tällöin niiden -koordinaatit ovat samat eli kulmien sinit ovat yhtäsuuret:

Kulmia ja vastaavien kehäpisteiden -koordinaatit ovat toistensa vastalukuja, jolloin on voimassa:

Voidaan myös osoittaa, että kaikille kulmille on voimassa suorakulmaisista kolmioista tuttu tulos

Esimerkki 4.39.

Määrää kulman trigonometristen funktioiden arvot.

Ratkaisu:

Kulma on , joten sen trigonometristen funktioiden arvot saadaan kulman trigonometristen funktioiden ja symmetriaominaisuuksien avulla.

Vastaus: , ja .

`Pythagoraan lause trigonometrisille funktioille`

Kulmaa vastaava kehäpiste on origokeskisellä yksikköympyrällä, joten sen koordinaatit toteuttavat tämän ympyrän yhtälön . Tämän nojalla kulman sinin ja kosinin välillä vallitsee yhteys:

Sinin ja kosinin potenssit ja merkitään yleensä ilman sulkeita, jolloin em. tulos saa muodon

Esimerkki 4.40.

Olkoon ja . Määrää ja .

Ratkaisu:

Ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla.

Koska kulman kosini on negatiivinen, kulma sijaitsee kolmannessa neljänneksessä eli . Tällöin eli nyt .

Tällöin

Vastaus: ja

Matemaattisista taulukkokirjoista löytyy lisää trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja. Näistä tärkeimmät ovat ns. yhteen- ja vähennyslaskukaavat sekä kaksinkertaisen kulman kaavat. Tällä kurssilla nämä sivuutetaan. Jos harjoituksissa tarvitaan joitakin ko. kaavoista, ne annetaan valmiina.

Trigonometriset yhtälöt

Tarkastellaan trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat muotoa

missä on jokin trigonometrinen funktio ja . Koska sini, kosini ja tangentti saavat jaksollisina funktioina jokaisen arvonsa äärettömän monta kertaa, trigonometrisilla yhtälöillä on yleensä äärettömän monta ratkaisua.

Yhtälöllä

on ratkaisuja ainoastaan, kun . Tällöin niitä on äärettömän monta. Jos yhtälöllä on ratkaisu , niin myös on ratkaisu. Koska sinifunktion perusjakso on , yhtälön kaikki ratkaisut ovat

Esimerkki 4.41.

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu:

Koska , yhtälön eräs ratkaisu on . Tällöin muut ratkaisut ovat

Vastaus:

Yhtälöllä

on myös ratkaisuja ainoastaan, kun . Jos on yhtälön ratkaisu, on myös sen ratkaisu. Koska kosinifunktion perusjakso on , yhtälön kaikki ratkaisut ovat

Esimerkki 4.42.

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu:

Muutetaan yhtälö ensin muotoon

Koska

yhtälön eräs ratkaisu on . Yhtälön kaikki ratkaisut ovat

Vastaus:

Yhtälöllä

on aina äärettömän monta ratkaisua. Tangentin kuvaajasta nähdään, että funktio saa jokaisen arvonsa aina :n välein. Jos yhtälön eräs ratkaisu on , sen kaikki ratkaisut ovat

Esimerkki 4.43.

Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Laskimella saadaan yhdeksi ratkaisuksi . Yhtälön kaikki ratkaisut ovat

Vastaus:

Harjoituksia

52. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 10. Laske kolmion pienimmän kulman sini, kosini ja tangentti, kun toinen kateetti on

(a) 8

(b) 7

Määrää myös kolmioiden kulmat.

Vastaus tehtävään 52

53. (a) Kuinka suuren kulman kellon sekuntiosoitin kiertää käydessään klo 8.15:stä 15.30:een?

(b) Polkupyörän pyörä pyörii 20 kierrosta minuutissa. Kuinka suuren kulman pyörän pinna pyyhkii 3 sekunnissa? Ilmoita kulmat sekä asteina että radiaaneina.

Vastaus tehtävään 53

54. Muuta radiaaneiksi

(a)