4.3. Polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktion

kuvaaja on nouseva tai laskeva suora :n kertoimesta riippuen. Sitä kutsutaan myös lineaariseksi funktioksi.

Esimerkki 4.6.

Oton Puu valmistaa puisia hedelmälautasia. Lautasten kuukausittainen menekki (kpl/kk) riippuu lineaarisesti niiden yksikköhinnasta (mk/kpl). Muodosta menekkifunktio , kun tiedetään, että hinnalla 10 (mk/kpl) lautasten kysyntä on 200 (kpl/kk) ja hinnalla 15 (mk/kpl) 120 (kpl/kk).

Ratkaisu:

Koska menekki riippuu lineaarisesti lautasten hinnasta, menekkifunktion kuvaaja on suora -koordinaatistossa. Määrätään tämän suoran yhtälö, kun tiedetään sen kulkevan pisteiden ja kautta. Suoran yhtälö on

Vastaus: Hedelmälautasten kuukausittainen menekki on yksikköhinnan funktiona

kun yksikköhinta (mk/kpl) on välillä

Huom!

Menekkisuoran kulmakerroin

ilmoittaa, että yksikköhinnan noustessa 1 (mk/kpl) menekki laskee 16 (kpl/kk).

Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktion

kuvaaja on ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli toisen asteen termin kertoimesta riippuen.

Esimerkki 4.7.

Lavatanssien järjestäjät arvioivat, että pääsylipun hinnan ollessa 50 (mk/kpl) tansseihin saapuu 900 henkeä. Lisäksi he arvioivat, että pääsylipun hinnan alentaminen yhdellä markalla lisää aina yleisöä 20 hengellä. Muodosta funktio, joka ilmoittaa pääsylipputulot hinnanalennuksen funktiona. Millä hinnalla järjestäjät saavat korkeimmat lipputulot? Kuinka suuret ne ovat, ja mikä on tällöin yleisömäärä?

Ratkaisu:

Olkoon pääsylipun hinnanalennus (mk/kpl), jolloin lipun hinta on (mk/kpl) ja yleisömäärä (kpl).

HUOM! Yleisömääräfunktiossa esiintyvän vakion 20 mittayksikkö on , sillä

Vakio ilmoittaa pääsylippujen menekin kasvavan 20 (kpl) jokaista niiden yksikköhinnan (mk/kpl) yhden markan suuruista alennusta kohti.

Pääsylipputulot (mk) ilmoittaa funktio

Lipputulofunktio on määritelty, kun (mk/kpl). Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se saa suurimman arvonsa huippukohdassa

Pääsylipun hinta on tällöin , lavatanssien yleisömäärä ja pääsylipputulot .

Vastaus:

Suurimmat pääsylipputulot saadaan, kun lipun hinta on 47,50 (mk/kpl), jolloin yleisöä saapuu 950 (kpl) ja lipputuloja saadaan 45125 (mk).

Harjoituksia

13. Merkitään lämpötilaa mitattuna Celsius-asteikossa :llä ja Fahrenheit-asteikossa :llä. Samaa lämpötilan muutosta vastaavien :n ja :n muutosten ja suhde on vakio. Veden jäätymispistettä vastaa :n arvo 32 ja kiehumapistettä :n arvo 212. Lausu :n funktiona ja kääntäen sekä piirrä näiden funktioiden kuvaajat. Onko henkilöllä kuumetta, jos hänen ruumiinlämpönsä on ? (YO85K)

Vastaus tehtävään 13

14. Kohtisuoraan ylöspäin alkunopeudella 24 (m/s) ammutun ilotulitusraketin korkeus ajan (s) funktiona on

missä putoamiskiihtyvyys . Kuinka korkealla raketti käy ja kuinka kauan se on ilmassa?

Vastaus tehtävään 14

15. Ritvan Kutomo valmistaa poppanaliinoja, joiden valmistuskustannukset ovat 45 (mk/kpl). Yrityksessä tiedetään, että poppanoiden hinnan (mk/kpl) ja menekin (kpl/kk) välillä vallitsee yhteys

Muodosta funktio, joka ilmoittaa poppanaliinojen myynnistä saatavan kuukausittaisen voiton (mk/kk) hinnan (mk/kpl) funktiona. Millä kappalehinnalla Ritvan Kutomon saama kuukausittainen voitto on mahdollisimman suuri?

Vastaus tehtävään 15

16. Helin Neuleet valmistaa kuviovillapaitoja luonnonmateriaaleilla värjätystä aidosta villalangasta. Yrityksen kiinteät tuotantokustannukset ovat 1800 (mk/kk). Lisäksi villapaitojen tuotantonopeudesta (kpl/kk) riippuvat yksikkökustannukset (mk/kpl) noudattavat funktiota

Muodosta funktio, joka ilmoittaa Helin Neuleiden kuukausittaiset tuotantokustannukset (mk/kk) tuotantonopeuden (kpl/kk) funktiona.

Vastaus tehtävään 16