1.7.2. Funktion kuvaaja

Havainnollisen kuvan suureiden välisestä riippuvuussuhteesta saa vastaavan funktion kuvaajan avulla. Olkoon

muuttujan

reaalifunktio. Funktion

kuvaaja eli graafi muodostuu pisteistä

, missä

Funktion

määrittelyjoukko

on kuvaajan projektio

-akselilla ja arvojoukko

kuvaajan projektio

-akselilla.

Funktion määritelmän mukaan jokaista määrittelyjoukon alkiota (tässä reaalilukua) vastaa täsmälleen yksi funktion arvo. Funktio ei voi saada kahta eri arvoa samassa pisteessä, joten jokaista määrittelyjoukon pistettä

vastaava

-akselin suuntainen suora

leikkaa funktion kuvaajan

täsmälleen kerran.

Suoran piirtäminen

Eräs tavallisimmista funktioista on ensimmäisen asteen polynomifunktio , missä vakiot . Se on määritelty kaikilla :n reaaliarvoilla. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora . Suoran suunta riippuu sen kulmakertoimesta . Suora on

• nouseva, jos ,

• laskeva, jos ja

• -akselin suuntainen, jos .

Suora voidaan piirtää määräämällä siltä kaksi pistettä. Virheiden välttämiseksi pisteitä kannattaa kuitenkin määrittää ainakin kolme. Nämä pisteet voidaan laskea suoran yhtälön avulla. Toinen tapa suoran pisteiden määrittämiseksi on käyttää hyväksi seuraavia tietoja:.

• vakiotermi ilmoittaa suoran ja -akselin leikkauspisteen ja

• kulmakerroin ilmoittaa suoran kaltevuuden.

Funktioihin palataan vielä tarkemmin luvussa 4, jossa esitellään tavallisimmat funktiotyypit ja niiden ominaisuudet.

Harjoituksia

30. Olkoon funktio ,

(a) Piirrä funktion kuvaaja.

(b) Mikä on funktion arvojoukko?

Vastaus tehtävään 30

31. Koulutuspalveluja tarjoava yritys järjestää kurssin, jonka osanottajilta peritään kurssimaksua 550 (mk/oppilas). Kurssi kestää 36 (h). Kouluttajan palkka on sosiaalikuluineen 165 (mk/h), opetustilojen vuokra 45 (mk/h). Oppilaille jaettava kurssimoniste maksaa 85 (mk/kpl). Kurssin ilmoituskulut maksavat yhteensä 845 (mk). Muodosta funktio, joka ilmoittaa kurssin järjestämisestä saatavan voiton oppilasmäärän funktiona. Älä unohda funktion määrittelyssä esiintyvien vakioiden mittayksiköitä.

Vastaus tehtävään 31

32. Autovuokraamo perii perusmaksua 250 (mk), joka sisältää 300 (km). Sen yli menevältä kilometrimäärältä vuokraamo perii 1,50 (mk/km). Muodosta funktio, joka ilmoittaa autovuokraamon perimän kokonaisvuokran ajokilometrimäärän funktiona.

Vastaus tehtävään 32

33. Yhtenä lihomisen mittarina pidetään painoindeksiä (engl. Body Mass Index), joka lasketaan jakamalla ruumiin massa (kg) pituuden (m) neliöllä. Muodosta kahden muuttujan funktio, joka laskee painoindeksin. Onko Esko normaalipainoinen, kun hän on 178 (cm) pitkä ja painaa 86 (kg). Normaalipainoisen aikuisen painoindeksi on 20-25 .

Vastaus tehtävään 33

34. Mikko pyöräili kesälomallaan mummolaan 40 (km):n päähän. Hän lähti kotoaan klo 10.30. Pyöräiltyään 15 (km) Mikko piti 10 minuutin tauon, jolloin hän osti jäätelötötterön matkan varrelle osuneesta kioskista. Hän lähti taas matkaan klo 11.25. Perillä mummolassa Mikko oli klo 12.35. Muodosta funktiot, jotka ilmoittavat Mikon keskinopeuden ja kulkeman matkan ajan funktiona, sekä piirrä näiden funktioiden kuvaajat.

Vastaus tehtävään 34

35. Sijoittaja vuokraa kerrostalokaksionsa opiskelijoille. Vuokrasta hän joutuu maksamaan yhtiövastiketta 515 (mk/kk) ja lopusta 28 % pääomaveroa. Muodosta funktio, joka ilmoittaa sijoittajan saaman nettovuokratulon kuukaudessa vuokran funktiona.

Vastaus tehtävään 35