[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]


1.7.1. Funktion määritelmä

Olkoot ja joukkoja. Funktio eli kuvaus joukolta joukolle on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon täsmälleen yhden joukon alkion. Tätä funktiota merkitään .

Joukko on funktion lähtö- eli määrittelyjoukko, , ja sen maalijoukko. Yleensä nämä ovat joitakin reaalilukujoukkoja. Funktion määritelmän mukaan joukkojen ja ei kuitenkaan tarvitse olla lukujoukkoja. Funktio voi olla esimerkiksi

, .

Tällä kurssilla funktion määrittelyjoukko on yleensä laajin mahdollinen reaalilukujoukko, jossa funktion lauseke on määritelty. Sovellusesimerkeissä muuttujan vastine reaalimaailmassa määrää funktion määrittelyjoukon.

Tarkastellaan esimerkkifunktiota

 

Funktion arvo pisteessä 1 on . Kaikki funktion arvot muodostavat yhdessä sen arvojoukon . Esimerkkifunktion arvojoukko on . Arvojoukko on aina funktion maalijoukon osajoukko, mutta nämä joukot eivät välttämättä ole samoja.

Esimerkki 1.24.

Yritys valmistaa ja myy hilavitkuttimia. Vitkuttimen materiaalikustannukset ovat 35 (mk/kpl). Yhden vitkuttimen valmistukseen kuluu 15 (min) ja työ maksaa 95 (mk/h). Lisäksi valmistuksesta aiheutuu kiinteitä kustannuksia 3200 (mk/kk). Yhden vitkuttimen myyntihinta on 85 (mk/kpl). Muodosta funktio, joka ilmoittaa vitkuttimien myynnistä saatavan kuukausittaisen voiton tuotantonopeuden (kpl/kk) funktiona, kun oletetaan, että kaikki tuotteet menevät kaupaksi.

Ratkaisu:

Olkoon hilavitkuttimien tuotantonopeus. Niiden myynnistä saatava kuukausittainen voitto on

 

Kuukausittaiset myyntitulot ovat

 

Valmistuskustannusten määrittämistä varten lasketaan ensin yhden yksikön valmistusaika tunneissa. Se on

 

Tuotantonopeus vaatii työaikaa

 

Kuukausittaiset valmistuskustannukset ovat

 

Kuukausittaisen myyntivoiton ilmoittaa funktio

 

Vastaus:   Myyntivoittofunktio on .

Esimerkki 1.25.

Äitiys-, isyys- ja vanhempainraha sekä sairauspäiväraha ja kuntoutusraha määräytyvät työtulojen perusteella seuraavasti (Kela 1998):

Muodosta funktio, joka ilmoittaa päivärahan vuosityötulon mukaan.

Ratkaisu:

Koska päiväraha määräytyy eri tuloluokissa eri tavoin, tulee päivärahafunktiosta ns. paloittain määritelty funktio. Olkoon henkilön työtulo , missä . Seuraavasta taulukosta ilmenee, kuinka työtulo määräytyy eri tuloluokissa

Vastaus:   

Päiväraha (arkipäiviltä) työtulon funktiona on

 


[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]