Tason 
alkio 
on havainnon mukaan
piste, jonka komponentteja 
ja 
sanotaan myös sen
koordinaateiksi. Kun tarkastellaan lineaarisia eli 'suoraviivaisia' ilmiöitä, on usein havainnollisempaa kuvata alkiota 
vektorina origosta 
pisteeseen 
.
Tätä tulkintaa käyttäen asetetaan vektorien 
ja 
summaksi vektori
Summan määräytymistä kuvaavassa kuviossa summavektori 
on suunnikkaan 
halkaisija,
suuntajana 
.
Jos summassa 
asetetaan 
,
saadaan
Yleisesti 
,
kun 
.
Edelleen voidaan sopia, että 
,
joka on vektorille 
vastakkaissuuntainen, mutta yhtä pitkä vektori. Tästä saadaan samaan tapaan kuin edellä myös kaikilla negatiivisilla kokonaisluvuilla kerrotut vektorit. Tämän jälkeen 
pätee aina, kun 
.
Kokonaisluvuilla kertomisen suuntaamana asetetaankin jokaiselle reaaliluvulle 
ja jokaiselle vektorille 
näiden
tuloksi vektori:
Vaikka
kerroin 
voi olla muukin kuin kokonaisluku eli mikä tahansa reaaliluku, sanotaan vektoria 
silti yleisesti vektorin 
(yleistetyksi)
monikerraksi. (Tarkemmin pitäisi siis puhua reaaliluvun ja vektorin tulosta tai reaaliluvulla kerrotusta vektorista.)
Havainnollistuksissa ajatellaan myös, että vektoria voi esittää mikä tahansa suuntajana, joka on yhtä pitkä ja saman suuntainen kuin origosta lähtevä suuntajana. Suuntajana on siis vektorin edustaja, ilmentymä.
Esimerkiksi alla olevassa, summan muodostumista esittävässä kuvassa vektoria 
voi esittää sekä suuntajana 
että suuntajana 
.
Samoin vektoria 
voi esittää sekä suuntajana 
että suuntajana 
.
Vektoreiden yhteenlasku voidaankin havainnollistaa asettamalla vektoreita edustavat suuntajanat 'peräkkäin'.
Vektori 
on
nollavektori ja vektori 
on vektorin 
vastavektori. Vektorien 
ja 
erotus on vektori
Vektoreille 
ja 
- jotka ovat eri vektorit, koska niiden komponentit ovat eri järjestyksessä - on
Piirrä tason vektoreille 
,
ja 
vektorit 
ja 
sekä lue kuvasta tulosvektoreiden koordinaatit. Kokeile yhdistellä vektoreita myös eri järjestyksessä. Tarkista tulokset laskemalla kyseiset vektorit.
Seuraavat tason vektoreita koskevat laskusäännöt on helppo todeta oikeiksi ja se tehtävä jätetäänkin lähes täysin lukijalle.
Tason vektoreille 
,
ja 
sekä reaaliluvuille 
ja 
pätevät seuraavat säännöt.
Todistus.
Käydään tässä esimerkkinä läpi vain ensimmäinen kohta. Tason vektoreille 
ja 
saadaan lukujen yhteenlaskun vaihdannaisuuden perusteella, että
Taso 
on tällöin esimerkki yleisemmästä struktuurista,
vektoriavaruudesta. Puhutaan myös
lineaariavaruudesta tai
lineaarisesta
avaruudesta. Yleisesti vektoriavaruuksiksi sanotaan mitä tahansa joukkoa, jossa on sillä tavalla määritellyt alkioiden yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen, että lauseessa 2.2 luetellut ominaisuudet täyttyvät.
Edellisen lauseen mukaan kaikki samantapaiset yhteen- ja kertolaskuja koskevat laskulait kuin luvuille toimivat myös vektoreille ja sen monikerroille. Yleisen käytännön mukaisesti monikerrassa vain luku kirjoitetaan aina vektorin vasemmalle puolelle: kirjoitetaan siis 
eikä 
.
Jos 
ja 
,
voidaan yhtälöstä 
vektori 
ratkaista edellä olevia laskulakeja käyttäen esimerkiksi seuraavasti:
Huomioi, että tässä yhtälö ratkaistiin pitämällä vektorit ensin yleisinä ja vasta lopussa sijoitettiin niiden konkreettiset arvot.
Osoitetaan, että suunnikkaan halkaisijat puolittavat toisensa. Olkoon suunnikkaassa 
vektori 
ja vektori 
.
Suuntajanan 
keskipiste 
on silloin suuntajanan 
eli vektorin
päätepiste. Suuntajana 
taas edustaa vektoria 
ja sen keskipiste 
on suuntajanan 
eli vektorin
päätepiste. Keskipisteet ovat siten saman suuntajanan päätepisteinä samat. Tämä yhteinen piste on näin ollen halkaisijoiden leikkauspiste ja puolittaa ne molemmat.
Määrää luvut 
ja 
niin, että 
.
Tee se sekä laskemalla että geometrisesti.
Tasossa 
akselien suuntaisilla vektoreilla
on erityisiä ominaisuuksia: Ensinnäkin, jos 
on mielivaltainen tason vektori, niin
Jokainen vektori 
voidaan siis esittää vektoreiden 
ja 
ns.
lineaarikombinaationa
Toiseksi tämä esitys on yksikäsitteinen: jos kerrointa 
tai 
muutetaan, summa (eli vektori 
) muuttuu myös.
Sanotaan, että vektorit 
ja 
muodostavat tason 
luonnollisen
kannan.
Niiden lineaarikombinaationa voidaan siis esittää jokainen tason vektori ja lisäksi kukin vain yhdellä tavalla (eli vain yksin kertoimin).
Usein käytetään luonnollisen kannan vektoreista myös merkintöjä 
ja 
,
jolloin siis jokaisella vektorilla 
on myös esitys
.
.
,
jne. 
.
.
,
ja 
.
.
.
.