IV.3.  Parillisuus ja parittomuus

Edellisen pykälän lauseen 4.2.6 mukaan jokainen permutaatio voidaan esittää vaihtojen tulona. Tällainen esitys ei ole kuitenkaan yksikäsitteinen, koska aina voidaan mihin tahansa esitykseen lisätä esimerkiksi tulopari . Tällöin kuitenkin lisätään kaksi vaihtoa, ja yleisemmin osoittautuukin, että vaihtoja voidaan lisätä tai vähentää aina vain parillinen määrä. Perustellaan se seuraavaksi. Avuksi tarvitsemme ensin paria apulausetta.

Apulause 4.3.1.

Olkoot ja eri vaihtoja, joista vaihtaa luvun (ts. ). Silloin tulo voidaan esittää kahden sellaisen vaihdon ja tulona, , joista vaihto ei vaihda lukua miksikään, mutta vaihtaa sen (ts. , mutta ).

Todistus. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi oletetaan ensin, että ja . Silloin on oleellisesti seuraavat kolme mahdollisuutta:

(1)   Jos , niin .

(2)   Jos , niin .

(3)   Jos , niin .

Jokaisessa tapauksessa on siis saatu väitetynlainen esitys. Koska yllä lukujen 1, 2, 3 ja 4 tilalla voivat esiintyä mitkä tahansa eri luvut, kattavat yllä käsitellyt tapaukset kaikki mahdollisuudet.

Apulause 4.3.2.

Jos identtinen permutaatio voidaan esittää tulona, jossa on vaihtoa, ja jos , voidaan esittää tulona, jossa on vain vaihtoa.

Todistus. Olkoon identtisellä permutaatiolla seuraavanlainen esitys vaihtojen tulona:

.

Jos , on ja tämä tulo voidaan permutaation esityksestä poistaa, jolloin saadaan vaadittu lyhyempi esitys.

Oletetaan sitten, että . Merkitään, että , missä . Koska , on apulauseen 4.3.1 mukaan , missä ja ovat sellaisia vaihtoja, että ja . Siten

.

Jos tässä esityksessä , voidaan tulo taas poistaa, jolloin saadaan vaadittu lyhyempi esitys.

Jos , löytyvät samoin kuin edellä vaihdot ja siten, että , ja . Näin jatketaan.

Jos sitten missään vaiheessa ei voitaisi supistaa kahta vierekkäistä vaihtoa pois, saataisiin tilanne, jossa

,

ja , , , …, , mutta . Edelleen saataisiin, että

mikä on tietenkin ristiriita. Jossain vaiheessa siis kyseistä identtisen permutaation esitystä voidaan lyhentää kahdella vaihdolla, kuten väitettiinkin.

Näiden kahden apulauseen jälkeen voidaan todistaa varsinainen päätulos.

Lause 4.3.3.

Missä tahansa permutaation esityksessä vaihtojen tulona on joko aina parillinen tai aina pariton määrä vaihtoja.

Todistus. Olkoon permutaatiolla seuraavat esitykset vaihtojen tulona:

.

Kertomalla tämä yhtälö vuoronperään oikealta vaihdon käänteisvaihdolla ja huomioimalla lopuksi, että se on sama vaihto , saadaan seuraava päättelyketju:

Siten identtinen permutaatio on saatu esitettyä vaihdon tulona. Lauseen väitteen todistamiseksi riittää tämän jälkeen osoittaa, että on parillinen.

Jos luku olisi pariton, voisi apulauseen 4.3.2 mukaan identtisen permutaation esitystä lyhentää ensin −pituiseksi, sitten −pituiseksi, jne, kunnes saataisiin jokin 1−pituinen esitys . Mutta tämä ei selvästikään ole mahdollista. Siten luku ja sen myötä myös on parillinen eli joko molemmat luvuista ja ovat parillisia tai sitten molemmat ovat parittomia. Lauseen väite on todistettu.

Permutaation sanotaankin olevan parillinen tai pariton sen mukaan tarvitaanko sen tuloesitykseen parillinen vai pariton määrä vaihtoja. Sanotaan myös, että sen merkki on ; parilliselle ja parittomalle .

On helppo huomata, että kahden parillisen tai kahden parittoman permutaation tulo on parillinen, kun taas parittoman ja parillisen permutaation tulo on pariton. Toisin sanoen permutaatiotulon merkki saadaan tekijöiden ja merkkien tulona eli

.

Tämän säännön voi selvästi yleistää usean permutaation tuloille.

Kuten edellisessä pykälässä Permutaatioesityksiä todettiin, voidaan kierrot esittää vaihtojen tulona seuraavasti:

.

Tässä esityksessä on vaihtoa, joten näemme, että −kierto on parillinen, mikäli sen pituus on pariton, ja pariton, mikäli on parillinen. Toisin sanoen, kierron merkki saadaan kaavasta

.

Koska jokainen permutaatio voitiin edelleen esittää erillisten kiertojen tulona, sen merkki saadaan selville tuloesityksessä olevien kiertojen pituuksien avulla.

Esimerkki 4.3.4.

Permutaatio

voidaan esittää kiertojen tulona seuraavasti:

.

Koska vasemmanpuoleinen kierto on parillinen (sen pituus on 5 ) ja oikeanpuoleinen kierto on pariton (sen pituus on 4 ), on näiden tulona pariton. Sama päätelmä voidaan tehdä myös merkistä

.

Opiskelutehtävä 41. (Permutaatiot vaihtojen tulona)

Ilmoita edellisen pykälän (Permutaatioesityksiä) harjoitustehtävien 1 ja 2 permutaatiot

ja vaihtojen tulona. Ovatko ne parillisia vai parittomia?

Vinkki tehtävään 41

Tarkastelemme lähemmin parillisten permutaatioiden muodostamaa joukkoa

.

Sen alkioilla on mm. seuraavat ominaisuudet.

Lause 4.3.5.

Joukon alkioille pätee:

(a)   ,

(b)   jos , niin myös ,

(c)   jos ja , niin myös .

Todistus. (a) Koska , on parillinen.

(b) Jos parillisille permutaatioille olisi käänteispermutaatio pariton, olisi niiden tulo pariton vastoin edellisen kohdan tulosta.

(c) Parillisille permutaatioille ja merkit ovat ja , joten eli .

Algebrallisesti yllä oleva lause ilmaisee, että joukko on ryhmän aliryhmä. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että se on myös ryhmä, ts. sillä on samat lauseen 4.1.6 ominaisuudet kuin ryhmällä . Ryhmää sanotaan astetta olevaksi alternoivaksi ryhmäksi.

Osoitamme seuraavaksi, että parillisia ja parittomia permutaatioita on yhtä paljon, kumpiakin sen mukaisesti puolet ryhmän alkioista.

Lause 4.3.6.

Ryhmässä on eri alkiota.

Todistus. Merkitään parittomien permutaatioiden muodostamaa joukkoa

.

Koska permutaatio on joko parillinen tai pariton, joukoille ja on

ja .

Jos sitten kerromme parillisen permutaation vaihdolla , saamme tulokseksi parittoman permutaation. Voimme siis määritellä kuvauksen asettamalla . Osoitamme, että tämä kuvaus on bijektio.

Ensinnäkin, ehdosta saadaan eli . Kuvaus on siten injektio. Toisaalta jokaiselle parittomalle on permutaatio parillinen ja . Kuvaus on siten myös surjektio.

Joukot ja ovat siis yhtä mahtavat eli niissä on yhtä monta alkiota. Koska niissä on yhteensä alkiota, joukossa on tästä määrästä puolet, kuten väitettiin.

Esimerkki 4.3.7.

Ryhmän

alkioista puolet ovat parillisia:

.

Opiskelutehtävä 42. (Alternoiva ryhmä)

Luettele alternoivan ryhmän alkiot.

Vinkki tehtävään 42

Opiskelutehtävä 43. (Alternoivan ryhmän alkiotyypit)

Anna ryhmissä , ja esimerkki kustakin erityyppisestä permutaation esityksestä erillisten kiertojen tulona. (Apu: Käytä lähtömallina ryhmää , missä kyseiset esimerkkityypit ovat , ja . Lukujen vaihtelua ei siis tarvitse huomioida.)

Vinkki tehtävään 43

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]