IV.2.  Permutaatioesityksiä

Suuriasteisille symmetrisille ryhmille niiden alkioiden tuloja on suoraan hankala määrätä, puhumattakaan kokonaisten kertolaskutaulukoiden tekemisestä. Permutaatioiden käsittelyn ja hahmottamisen helpottamiseksi on olemassa muutamia käyttökelpoisia esitystapoja.

Tarkastellaan ensin permutaatiossa

graafisesti sen alkioiden kuvautumista. Voi huomata, että on eräänlainen 'kiertokuvaus': alkio 1 kuvautuu alkioksi 3, se kuvautuu alkioksi 4, se alkioksi 2, ja lopulta 2 takaisin alkioksi 1. Jos merkitsemme tällaista permutaatiota lyhyemmin , voikin tästä itse asiassa jo lukea sen toiminnan.

Yleisemmin merkintä

tarkoittaa kiertoa (eli sykliä) ja tämä permutaatio määritellään asettamalla

Luku on kierron pituus ja −pituista kiertoa sanotaan myös − kierroksi. Kierron pituuden ei tarvitse olla sama kuin ryhmän aste , vaan se voi olla pienempi. Ääritapauksena ryhmän identtistä kuvausta merkitsemme myös kiertomaisesti .

Esimerkki 4.2.1.

Seuraavat permutaatiot ovat kiertoja:

Esimerkki 4.2.2.

Ryhmän kaikki alkiot voidaan esittää kiertoina (käytämme edelleen esimerkkien 4.1.2 ja 4.1.8 merkintöjä):

,    ,    ,
,    ,    .

Kun aste on suurempi kuin 3, eivät kaikki permutaatiot kuitenkaan enää ole kiertoja. Tarkastellaan esimerkkinä permutaatiota

Tämä permutaatio kuvaa alkiot monessa ketjussa:

Graafisesti esitettynä näistä saadaan neljä osakuvausta:

Nyt voimme esittää permutaation kolmen kierron tulona (neljäs osakuvaus ei muuta mitään):

.

Sanomme, että kaksi kiertoa ovat erilliset, jos niissä ei esiinny samoja alkioita. Yllä olevat kierrot (1 3 7 2), (4 6) ja (5 10 8) ovat siten erillisiä. Tällaisten erillisten kiertojen kertominen voidaan lisäksi suorittaa missä järjestyksessä tahansa. Siten permutaatio voidaan esittää myös mm. tuloina

Opiskelutehtävä 38. (Permutaatio erillisten kiertojen tulona)

Ilmoita permutaatio

erillisten kiertojen tulona.

Vinkki tehtävään 38

Edellä johdettu permutaatioesitys on esimerkki yleisemmästä tilanteesta.

Lause 4.2.3.

Jokainen ryhmän permutaatio (joka ei ole identtinen kuvaus) on joko itse kierto tai sitten se voidaan esittää erillisten kiertojen tulona.

Todistus. Osoitetaan väite oikeaksi täydellisellä induktiolla. Ensimmäisessä tapauksessa väite pitää paikkansa. Oletetaan sitten, että se pitää paikkansa kaikille alkion permutaatioille. Induktioväitteen todistamiseksi olkoon .

Jos sattuu kuvaamaan alkion samaksi alkioksi , se onkin olennaisesti alkion permutaatio, ja siten väite pätee sille induktio-oletuksen mukaan.

Olkoon sitten ja luku sellainen, että . Olkoon lisäksi 2−kierto ja . Tällöin , sillä . Koska permutaatiolle on nyt

,

on se induktio-oletuksen mukaan joko kierto tai se voidaan esittää erillisten kiertojen tulona.

Jos myöskin , niin joko tai sen esityksen kaikki kierrot ovat erillisiä 2−kiertoon verrattuna. Mutta tällöinhän myös voidaan esittää erillisten kiertojen tulona.

Jäljelle jää tapaus, jossa ja . Tällöin joko permutaatio tai sen tuloesityksen yksi kierto kuvaa luvun joksikin muuksi luvuksi. Niinpä voidaan esittää muodossa

,

missä on kierto ja on joko identtinen kuvaus (jos on jo itse kierto) tai sellaisten kiertojen tulo, jotka eivät muuta lukuja , , , …, . Lisäksi tiedetään, että mikään edellä luetelluista luvuista ei ole luku . Nyt saadaan permutaatiolle esitys

mikä osoittaa lopultakin, että voidaan esittää erillisten kiertojen tulona.

Esimerkki 4.2.4.

Ryhmän kaikki alkiot voidaan siis nyt esittää kiertojen avulla. Niistä saadaan seuraavanlainen taulukko.

Huomaa, että koska permutoitavassa joukossa on vain neljä alkiota, kierrotkin voivat olla pituudeltaan korkeintaan neljä. Lisäksi vain 2−kierroista voidaan muodostaa erillisiä tuloja.

Opiskelutehtävä 39. (Permutaatiotulo erillisten kiertojen tulona)

Ilmoita permutaatiotulo erillisten kiertojen tulona sekä myös kaksirivisessä esitysmuodossa.

Vinkki tehtävään 39

Opiskelutehtävä 40. (Käänteispermutaatio ja erillisten kiertojen tulo)

Määrää permutaatiolle käänteispermutaatio ja esitä se erillisten kiertojen tulona. Vertaa tulosta alkuperäiseen esitykseen.

Vinkki tehtävään 40

Lyhyintä mahdollista kiertoa eli 2−kiertoa sanotaan myös vaihdoksi eli transpositioksi. On helppo nähdä, että jokainen kierto voidaan esittää vaihtojen tulona. Esimerkiksi

,

ja yleisemmin

.

Yhdistämällä tämä huomio edelliseen lauseeseen saadaan seuraava tulos.

Lause 4.2.5.

Jokainen permutaatio voidaan esittää vaihtojen tulona.

Vaihtojen tuloesitys ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, kuten seuraavassa pykälässä tarkemmin todetaan. Tarvitsemme myöhemmin vielä seuraavaa tulosta, joka ilmoittaa, että permutaatio voidaan esittää myös eräiden erityistyyppisten vaihtojen tulona.

Lause 4.2.6.

Jokainen permutaatio voidaan esittää vaihdoista

, , … , ja

muodostettuna tulona. Se voidaan esittää aina myös vaihdoista

, , … , ja

muodostettuna tulona. (Ääritapauksena tulossa voi olla vain yksi termi.)

Todistus. Ensimmäinen väite seuraa edellisestä lauseesta, kun huomataan, että mielivaltainen vaihto voidaan esittää tulona

.

Toinen väite seuraa taas siitä, että edelleen

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]