[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]


Tehtävän 28 ratkaisu

Ratkaisutapa 1. Koska kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, pätee sille symmetrisyys eli että .

Ratkaistaan m laskemalla aluksi alkion 7 potenssia 25 pienempiä potensseja:

 

Siispä m = 10.

Ratkaisutapa 2. Ilmoitetaan eksponentti 25 ensin luvun 2 potenssien summana. Koska , niin

.

Näin ollen . Lasketaan potenssien kongruensseja modulo 11 käyttäen neliöönkorotusmenettelyä:

 

Nyt saadaan, että

.

Vastaus: m = 10.

Lisätietoja. Usein pääsee hiukan vähemmällä työllä, jos esittää kongruenssissa esiintyvät alkiot itseisarvoltaan mahdollisimman pienen luvun avulla. Se voi siis olla myös negatiivinen. Jos esimerkiksi tehtävän ensimmäisessä ratkaisutavassa olisi ensin laskettu ja yritetty tämän jälkeen etsiä joku pieni luku, jonka kanssa tuo luku on kongruentti modulo 11, olisi tehtävä mennyt vaikeammaksi ja lisäksi apuna olisi tarvittu laskinta. Koska 10 on kuitenkin kongruentti alkion −1 kanssa modulo 11, voidaan kirjoittaa kuten yllä ja saada yksinkertainen viidenteen potenssiin korotus. Lopuksi siirrytään takaisin välillä 0−10 olevaan ekvivalenssiluokan edustajaan.

[Opiskelutehtävä 28] [Vinkki tehtävään 28]


[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]