Lukuteoria 2 2024

Ajankohtaista 29.4.2024

Kurssimateriaalin alustava lopullinen versio on julkaistu alla.

Sisältö

Kurssilla tarkastellaan lukuteorian kysymyksiä kurssin Lukuteoria 1 pohjalta. Alla on kuvattu muutama esimerkki kurssilla käsiteltävistä aiheista.

Luonnollisten lukujen esittäminen kokonaislukujen neliöiden summina

Luonnollinen luku $n$ on kahden neliön summa, jos on $a,b\in\mathbb Z$, joille $n=a^2+b^2$. Kokonaislukujen neliöt $a^2+0^2$ lasketaan kahden neliön summiksi, joten on helpo nähdä, että $0=0^2+0^2$, $1=1^2+0^2$, $2=1^2+1^2$, $4=2^2+0^2$, $5=2^2+1^2$ ovat kahden neliön summia. Sen sijaan $3$, $6$ ja $7$ eivät ole kahden neliön summia.

Kahden neliön summan geometrinen tulkinta on, että luonnollinen luku on kahden neliön summa, jos ja vain jos se on euklidisen tason kokonaislukukertoimisen pisteen normin neliö.

Osoitamme kurssilla, että positiivinen kokonaisluku $n$ on kahden neliön summa, jos ja vain jos jokaisen alkuluvun $p\equiv 3\bmod 4$ eksponentti luvun $n$ alkutekijäesityksessä on parillinen. Lisäksi osoitamme, että kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää neljän neliön summana.

Epälineaariset Diofantoksen yhtälöt

Fermat'n suuren lauseen mukaan, jos $n\ge 3$ on luonnollinen luku, niin yhtälön $$ x^n+y^n=z^n $$ kaikille kokonaislukuratkaisuille pätee $xyz=0$. Todistamme kurssilla tapauksen $n=4$ Fermat'n äärettömän laskeutumisen menetelmällä. Yleinen tulos on niin syvällinen, että emme käsittele sitä.

Diofantoksen approksimaatio

Todistamme Dirichlet'n approksimaatiolauseen

Olkoon $\alpha$ irrationaaliluku. Epäyhtälö \begin{equation} \Big|\alpha-\frac pq\Big|<\frac 1{q^2} \end{equation} pätee äärettömän monelle $\frac pq\in\mathbb Q$. Tarkastelemme myös sitä, missä mielessä tätä epäyhtälöä voi parantaa.

Esitiedot

Luennot

Harjoitukset

Kunkin viikon tehtävät julkaistaan tässä. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto