Ratkaisu tehtävään 10.14

Mäen rinteen profiilikäyrä välillä on

kun yksikkönä on metri. Määritetään missä pisteessä rinne on jyrkimmin laskeva ja mikä on kaltevuuskulma tässä kohtaa.

Tehtävänä on määrittää funktion kulmakertoimen suurin arvo välillä . Funktio ja sen derivaatta ovat polynomeina jatkuvia ja derivoituvia kaikkialla, joten funktion derivaatalla on välillä suurin (ja pienin) arvo, jonka se voi saavuttaa funktion toisen derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä.

Funktion derivaatta on toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat

Tulon nollaperiaatteen perusteella

tai

Funktio on vähenevä välillä , sillä sen derivaatta saa negatiivisia arvoja nollakohtiensa välissä.

Ratkaistaan milloin lasku on jyrkintä eli milloin tangentin kulmakerroin on pienin. Lasketaan funktion toinen derivaatta ja ratkaistaan sen nollakohdat.

Funktion derivaatta saa pienimmän arvonsa toisen derivaatan nollakohdassa eli lasku on jyrkintä kohdassa .

Kaltevuuskulma saadaan suuntakulman ja kulmakertoimen välisen yhteyden avulla, missä

Kaltevuuskulma saadaan nyt laskimen avulla

Kaltevuuskulmalla rinne on jyrkin ja tämä tapahtuu kohdassa

[Tehtävä 10.14][Vinkki tehtävään 10.14]

[Ylemmälle pääsivulle] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]