Harjoitustehtäviä

HT 10.1.

Laske erotusosamäärän raja-arvon avulla seuraaville funktioille derivaatta kohtaan .

a )

b )

[Vinkki tehtävään 10.1]

HT 10.2.

Derivoi seuraavat funktiot,

a )

b )

c )

d )

e )

f )

kun tunnetaan , ja .

[Vinkki tehtävään 10.2]

HT 10.3.

Derivoi funktiot

a )

b )

c )

d )

[Vinkki tehtävään 10.3]

HT 10.4.

Derivoi

a )

b )

c )

d )

e )

f )

[Vinkki tehtävään 10.4]

HT 10.5.

Derivoi

a )

b )

c )

d )

e )

[Vinkki tehtävään 10.5]

HT 10.6.

Milloin seuraavat funktiot ovat aidosti kasvavia.

a )

b )

[Vinkki tehtävään 10.6]

HT 10.7.

Ratkaise funktion kuvaajalle kohtaan piirrettyjen tangenttisuoran ja normaalisuoran yhtälöt.

[Vinkki tehtävään 10.7]

HT 10.8.

a ) Mikä on funktion

kuvaajalle kohtaan piirretyn tangenttisuoran suuntakulma?

b ) Määritä vakio siten, että funktiot ja omaavat leikkauspisteessään saman derivaatan arvon. Laske kyseisen derivaatan arvo. Mitä tulos tarkoittaa geometrisesti?

[Vinkki tehtävään 10.8]

HT 10.9.

a ) Tutki onko funktio derivoituva kohdassa .

b ) Osoita, että funktiolla on derivaatta kohdassa .

[Vinkki tehtävään 10.9]

HT 10.10.

Millä vakion arvolla on funktio :

a ) jatkuva?

b ) derivoituva?

[Vinkki tehtävään 10.10]

HT 10.11.

Ratkaise seuraavien funktioiden lokaalit ja absoluuttiset ääriarvokohdat. Tutki myös milloin funktiot ovat aidosti kasvavia ja väheneviä.

a )

b )

c )

d )

e )

f )

[Vinkki tehtävään 10.11]

HT 10.12.

a ) Ratkaise funktioiden ja kuvaajien asymptootit, kun

b ) Piirrä funktion

kuvaaja.

[Vinkki tehtävään 10.12]

HT 10.13.

a ) Ratkaise funktioiden ja kuvaajien asymptootit, kun

b ) Piirrä funktion

kuvaaja.

[Vinkki tehtävään 10.13]

HT 10.14.

Mäen rinteen profiilikäyrä välillä on

kun yksikkönä on metri. Missä pisteessä rinne on jyrkimmin laskeva ja mikä on kaltevuuskulma tässä kohtaa?

[Vinkki tehtävään 10.14]

HT 10.15.

a ) Tehtaassa ryhdytään valmistamaan kannetonta litran vetoista suorakulmaisen särmiön muotoista peltiastiaa, jonka pohjana on neliö. Kuinka suureksi on valittava astian korkeuden ja pohjan särmän suhde, jotta peltiä kuluisi mahdollisimman vähän?

b ) Teollisuus robootti voidaan säätää valmistamaan 200-700 koneen osaa tunnissa. Tuotannossa syntyvien virheellisten osien prosentuaalinen osuus on suoraan verrannollinen valmistusnopeuteen. Nopeudella 200 kpl/h on virheellsiä 20 %. Millä valmistusnopeudella robotti tuottaa eniten virheettömiä osia? Vihje: laske ensin kunka paljon virheellisiä osia tuotetaan tunnissa ja sitten kuinka paljon virheettömiä, minkä jälkeen voit tutkia virheettömien määrän ääriarvoja.

[Vinkki tehtävään 10.15]

HT 10.16.

a ) Onko funktiolla ääriarvoja?

b ) Kun erästä tuotetta, jonka hankinta hinta on 50 euroa myydään 80 euron hinnalla,on päivämyynti 60 kappaletta. Hinnan laskemisen oletaan vaikuttavan siten,ettäa yhden euron alennus lisää aina menekkiä viidellä kappaleella. Millä kokonaisiksieuroiksi pyöristetyllä myyntihinnalla saadaan tällöin suurin kate? (kate =myyntihinta - hankintahinta)

[Vinkki tehtävään 10.16]

HT 10.17. Pois?

Päättele/arvaa kaksi funktiota, joiden molempien derivaattafunktio on

a )

b )

c )

d )

Tarkista derivoimalla, että vastaukset ovat oikein.

[Vinkki tehtävään 10.17]