[Ylemmälle pääsivulle] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Ratkaisu tehtävään 10.6

a ) Funktio on polynomina jatkuva ja derivoituva. Lasketaan funktion derivaatta.

Lasketaan derivaatan nollakohdat .

Yhtälö on vaillinainen toisen asteen yhtälö, josta puuttuu vakiotermi, joten se voidaan ratkaista tulon nollasääntöä käyttäen ottamalla ensin yhteiseksi tekijäksi .

Tulon nollasäännön mukaan joko tai . Derivaatalla on siis nollakohdat ja . Muodostetaan derivaatan merkkikaavio, jonka avulla voidaan päätellä funktion käyttäytyminen. Derivaatta on toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Sen merkkikaavio saadaan siis helposti.

Funktiolla on lokaali maksimi kohdassa jolloin ja lokaali minimi kohdassa jolloin . Funktiolla on siis maksimipiste ja minimipiste ja se on aidosti monotoninen, kun tai tai .

b ) Funktio on määritelty, kun nimittäjä on nollasta eroava.

Nimittäjän nollakohta saadaan ratkaisemalla yhtälö . Vähentämällä molemmilta puolilta 1 ja jakamalla muuttujan kerroin 2 pois saadaan nollakohdaksi

Funktion määrittelyjoukko on

Funktio on siis jatkuva ja derivoituva, kun .

Funktion derivaatta saadaan osamäärän derivoimissäännön avulla

Lasketaan derivaatan nollakohdat. Murtofunktio on nolla, kun osoittaja on nolla. Derivaatan nollakohdat saadaan siis osoittajan nollakohdista ratkaisemalla yhtälö . Yhtälö on vaillinainen toisen asteen yhtälö, josta puuttuu vakiotermi, joten se voidaan ratkaista tulon nollasääntöä käyttäen ottamalla ensin yhteiseksi tekijäksi .

Tulon nollasäännön mukaan joko tai . Derivaatalla on siis nollakohdat ja . Muodostetaan derivaatan merkkikaavio (huomioi myös nimittäjän nollakohta), jonka avulla voidaan päätellä funktion käyttäytyminen.