5.4.1. Derivaatan määritelmä

Funktion derivaatta kohdassa , jota merkitään , on raja-arvo

Funktion derivaatta on siten funktion arvojen hetkellinen kasvunopeus kohdassa ja se voidaan tulkita geometrisesti funktion kuvaajalle pisteeseen piirretyn tangentin kulmakertoimeksi. Lauseketta

joka ilmoittaa funktion pisteiden ja kautta kulkevan sekantin kulmakertoimen, sanotaan funktion erotusosamääräksi kohdassa . Funktion derivaatta on tämän erotusosamäärän raja-arvo, kun . Tällöin pisteen kautta kulkeva sekantti kiertyy tämän pisteen kautta kulkevan tangentin suuntaiseksi.

Derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona voidaan esittää monella eri tavalla. Merkitään , jolloin . Kun tämä sijoitetaan derivaatan määritelmään, se saa muodon

Tämä derivaatan määritelmä esitetään myös usein muodossa, jossa :

Esimerkki 5.11.

Laske funktion derivaatta kohdasssa .

Ratkaisu:

Funktion erotusosamäärä kohdassa on

Funktion derivaatta on sen erotusosamäärän raja-arvo, kun :

Vastaus:   

Funktio on derivoituva kohdassa , jos erotusosamäärän raja-arvo

on olemassa. Geometrisesti tulkittuna funktion derivoituvuus kohdassa merkitsee sitä, että funktion kuvaajalle voidaan piirtää tähän kohtaan yksikäsitteinen tangentti, jolla on kulmakerroin. Funktio ei ole derivoituva epäjatkuvuuskohdassaan, koska sen kuvaajalle ei voi piirtää tangenttia tähän kohtaan. Funktio ei ole myöskään derivoituva kohdassa, jossa sen kuvaajassa on kärki. Tähän kärkipisteeseen ei voi piirtää yksikäsitteistä tangenttia. Kärkikohdassa erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo ovat erisuuret, jolloin sillä ei ole raja-arvoa tässä kohdassa. Jos tangentti on pystysuora, sillä ei ole kulmakerrointa, eikä funktio ole derivoituva ko. kohdassa. Oheisessa kuvassa on esitetty nämä tilanteet, jolloin funktio ei ole derivoituva kohdassa . Funktion sanotaan olevan derivoituva, jos se on derivoituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä.

Funktion derivaattafunktio on funktio , jonka arvo jokaisessa kohdassa on funktion derivaatta tässä kohdassa. Funktion derivaattafunktion muodostamista kutsutaan funktion derivoimiseksi. Funktion derivaattafunktiolle käytetään myös merkintää . Jos funktion muuttuja on , sen derivaattaa tarkoittaa myös merkintä .

Esimerkki 5.12.

Derivoi funktio .

Ratkaisu:

Funktion derivaatta kohdassa on (ks. derivaatan määritelmän toinen muoto)

Vastaus:   

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]