[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Funktion
derivaatta kohdassa
, jota merkitään
, on raja-arvo
Funktion derivaatta
on siten funktion
arvojen
hetkellinen kasvunopeus kohdassa
ja se voidaan tulkita geometrisesti funktion
kuvaajalle pisteeseen
piirretyn
tangentin kulmakertoimeksi. Lauseketta
joka ilmoittaa funktion pisteiden ja
kautta kulkevan sekantin kulmakertoimen, sanotaan funktion
erotusosamääräksi kohdassa
. Funktion
derivaatta
on tämän
erotusosamäärän raja-arvo, kun
. Tällöin pisteen
kautta kulkeva sekantti kiertyy tämän pisteen kautta kulkevan tangentin suuntaiseksi.
Derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona voidaan esittää monella eri tavalla. Merkitään , jolloin
. Kun tämä sijoitetaan derivaatan määritelmään, se saa muodon
Tämä derivaatan määritelmä esitetään myös usein muodossa, jossa :
Laske funktion derivaatta kohdasssa
.
Funktion erotusosamäärä kohdassa
on
Funktion derivaatta on sen erotusosamäärän raja-arvo, kun
:
Funktio on
derivoituva kohdassa
, jos erotusosamäärän raja-arvo
on olemassa. Geometrisesti tulkittuna funktion derivoituvuus kohdassa merkitsee sitä, että funktion kuvaajalle voidaan piirtää tähän kohtaan yksikäsitteinen tangentti, jolla on kulmakerroin. Funktio ei ole derivoituva epäjatkuvuuskohdassaan, koska sen kuvaajalle ei voi piirtää tangenttia tähän kohtaan. Funktio ei ole myöskään derivoituva kohdassa, jossa sen kuvaajassa on kärki. Tähän kärkipisteeseen ei voi piirtää yksikäsitteistä tangenttia. Kärkikohdassa erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo ovat erisuuret, jolloin sillä ei ole raja-arvoa tässä kohdassa. Jos tangentti on pystysuora, sillä ei ole kulmakerrointa, eikä funktio ole derivoituva ko. kohdassa. Oheisessa kuvassa on esitetty nämä tilanteet, jolloin funktio ei ole derivoituva kohdassa
. Funktion sanotaan olevan derivoituva, jos se on derivoituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä.
Funktion
derivaattafunktio on funktio
, jonka arvo jokaisessa kohdassa on funktion derivaatta tässä kohdassa. Funktion derivaattafunktion muodostamista kutsutaan funktion
derivoimiseksi. Funktion
derivaattafunktiolle käytetään myös merkintää
. Jos funktion
muuttuja on
, sen derivaattaa tarkoittaa myös merkintä
.
Funktion derivaatta kohdassa
on (ks. derivaatan määritelmän toinen muoto)