1.1.2. Lukujoukot

Luonnolliset luvut

Luonnollisten lukujen joukko on . Luonnolliset luvut ilmaisevat lukumäärää ja järjestystä. Ihminen omaksui ne jo esihistoriallisella ajalla. Eri kulttuureissa on ollut luonnollisille luvuille omat merkintätavat. Monet niistä ovat poistuneet käytöstä sovelluttuaan huonosti laskemiseen (esimerkiksi roomalaiset numerot). Nykyisin käytössä olevat arabialaiset numerot levisivät arabialaisten välityksellä Intiasta, missä ne olivat käytössä jo 600-luvulla.

Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolasku. Niille on voimassa seuraavat laskulait.

Kokonaisluvut

Kokonaislukujen joukko on . Se muodostuu, kun luonnollisten lukujen joukko laajennetaan negatiivisilla kokonaisluvuilla . Kokonaislukujen joukossa jokaisella luvulla on vastaluku, jota merkitään . Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla: . Kokonaislukujen joukossa on yhteen- ja kertolaskun lisäksi määritelty myös vähennyslasku.

Rationaaliluvut

Rationaalilukujen joukko sisältää kaikki luvut, jotka voidaan esittää murtolukumuodossa , missä ja . Jokaisen rationaaliluvun desimaalimuoto on joko päättyvä tai jaksollinen. Rationaalilukujen joukossa kaikki neljä peruslaskutoimitusta (jakolasku edellisten lisäksi) ovat määriteltyjä. Ainoana poikkeuksena on nollalla jakaminen, jota ei ole määritelty.

Reaaliluvut

Reaalilukujen joukko sisältää rationaalilukujen lisäksi irrationaaliluvut. Irrationaalilukuja ei voi esittää murtolukumuodossa ja niiden desimaalimuoto on aina päättymätön ja jaksoton. Irrationaalilukuja ovat esimerkiksi sekä . Irrationaalilukujen joukolla ei ole yhteisiä alkioita rationaali-, kokonais- tai luonnollisten lukujen joukkojen kanssa ja se voidaankin esittää joukko-opillisena erotuksena

Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan lukusuoralla. Reaalilukuvälejä merkitään seuraavasti.

Kompleksiluvut

Kompleksilukujen joukko sisältää luvut, jotka ovat muotoa , missä ja on ns. imaginaariyksikkö, jolle on voimassa: Kompleksilukujen joukossa jokaisella toisen asteen yhtälöllä on ratkaisu. Tällä kurssilla rajoitutaan ainoastaan reaalilukuihin.

Tässä esitetyt lukujoukot sisältävät aina edelliset osajoukkoina. On huomattava, että kaikki reaaliluvut ovat myös kompleksilukuja, sillä mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää kompleksilukuna

Harjoituksia

1. Mitkä seuraavista väittämistä ovat tosia (T) ja mitkä epätosia (ET)?

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 1

2. Olkoot joukot , ja . Määrää joukot

(a)

(b)

(c)

Vastaus tehtävään 2