[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Logaritmin määritelmä ja laskusääntöjä

Luvun -kantainen logaritmi (), jota merkitään , on eksponentti , joka toteuttaa yhtälön . Luvun -kantainen logaritmi on se kantaluvun eksponentti, jonka avulla luku ilmaistaan :n potenssina.

Logaritmi on määritelty ainoastaan positiivisilla luvuilla , koska eksponenttifunktio saa vain positiivisia arvoja, ja yhtälöllä on ratkaisuja vain, kun .

Esimerkki 4.26.

Laske (a)    (b)    (c)

Ratkaisu:

(a)

, koska .

(b)

, koska

(c)

, koska

Vastaus:   (a) 3   (b)    (c)

Määritelmän nojalla voidaan osoittaa, että logaritmeille on voimassa seuraavat laskusäännöt: ()

•

• , koska

• , koska

• Kun , , koska luku on se kantaluvun eksponentti, jonka avulla ilmaistaan :n potenssina.

Esimerkki 4.27.

Laske (a)    (b)    (c)

Ratkaisu:

(a)

 

(b)

 

(c)

 

Vastaus:   (a) 3,5   (b) 75   (c) 2

Logaritmeille voidaan johtaa vielä seuraavat laskusäännöt, joiden todistukset sivuutetaan tällä kurssilla. (Joissakin säännöissä on logaritmimerkinnästä jätetty kantaluku pois. Kantaluku on näissäkin tapauksissa positiivinen, mutta ei luku yksi.)

• Tulon logaritmi on tekijöiden logaritmien summa:

 

• Osamäärän logaritmi on osoittajan logaritmin ja nimittäjän logaritmin erotus:

 

• Potenssin logaritmi on luvun logaritmi kerrottuna eksponentilla :

 

• Luvun -kantainen logaritmi voidaan ilmoittaa -kantaisina logaritmeina seuraavasti:

 

Laskimet sisältävät yleensä 10- ja -kantaiset logaritmifunktiot. Näistä 10-kantaista logaritmia kutsutaan Briggsin logaritmiksi ja sitä merkitään lyhyemmin . Logaritmia, jonka kantaluku on Neperin luku , nimitetään luonnolliseksi logaritmiksi ja sille käytetään lyhennettä . Muiden logaritmien likiarvoja ei voi laskea suoraan taskulaskimella. Edellä esitellyn luettelon viimeisen laskusäännön nojalla mikä tahansa -kantainen logaritmi voidaan kuitenkin ilmoittaa esim. 10-kantaisten tai luonnollisten logaritmien avulla. Tämän jälkeen sen likiarvo saadaan helposti myös taskulaskimella.

Esimerkki 4.28.

Laske (a)    (b)

Ratkaisu:

(a)

 

(b)

 

Vastaus:   (a) 4   (b) 2

Esimerkki 4.29.

Laske logaritmin nelidesimaalinen likiarvo.

Ratkaisu:

 

Vastaus:   12,7731

Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona

Koska logaritmi on se muuttujan arvo, jolla eksponenttifunktio saa arvon , logaritmifunktio () on eksponenttifunktion () käänteisfunktio. Oheiseen kuvaan on piirretty näiden funktioiden kuvaajat, jotka ovat symmetriset suoran suhteen.

Koska funktion arvojoukko on sen käänteisfunktion määrittelyjoukko, ovat eksponentti- ja logaritmifunktioiden määrittely- ja arvojoukot seuraavan taulukon mukaiset:

Funktioiden monotonisuus riippuu kantaluvun arvosta seuraavasti:

Logaritmifunktion monotonisuus

Monotonisuuden nojalla logaritmifunktiolle on voimassa:

 

Kun logaritmifunktio on aidosti kasvava ja se säilyttää järjestyksen:

 

Kun logaritmifunktio aidosti vähenevänä funktiona kääntää järjestyksen:

 

Esimerkki 4.30.

Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Yhtälö on määritelty, kun eli kun . Logaritmin määritelmän nojalla on oltava voimassa

 

Vastaus:   

Esimerkki 4.31.

Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Yhtälö on määritelty, kun , ja . Nämä ehdot ovat voimassa, kun . Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet samankantaisina logaritmeina ja käytetään hyväksi logaritmifunktion monotonisuutta.

 

Vastaus:   

Tarkastellaan lopuksi radioaktiivisen aineen hajoamista esimerkkinä ilmiöstä, jota voidaan kuvata eksponenttifunktiolla.

Radioaktiivisen aineen hajoaminen

Radioaktiiviset aineet hajoavat toisiksi alkuaineiksi tai saman alkuaineen energialtaan pienemmiksi ydinlajeiksi. Hajoamisen nopeutta kuvaa radioaktiivisen aineen puoliintumisaika , jonka kuluttua puolet alkuperäisistä radioaktiivisista ytimistä on hajonnut. Puoliintumisaika on kullekin radioaktiiviselle aineelle tyypillinen vakio. Seuraava taulukko näyttää, kuinka radioaktiivisen aineen määrä muuttuu ajan funktiona, kun sen määrä on tarkastelun alkuhetkellä ja aineen puoliintumisaika .

Määrätään radioaktiivisen aineen määrä mielivaltaisella ajan hetkellä . Merkitään , missä on kuluneinen puoliintumisaikojen lukumäärä. Tällöin ja edellä olevan taulukkotarkastelun perusteella radioaktiivisen aineen määrä hetkellä on

 

Tämä on radioaktiivisen aineen hajoamislaki.

Esimerkki 4.32.

Radioaktiivisen jodin -isotoopin puoliintumisaika on (vrk). Kuinka monta prosenttia ainetta on jäljellä kuukauden ts. 30 (vrk):n kuluttua?

Ratkaisu:

Hajoamislain nojalla aineen määrä on 30 (vrk):n kuluttua

 

Vastaus:   Ainetta on jäljellä 30 (vrk):n kuluttua n. 7,4 %.

Esimerkki 4.33.

Eliön kuollessa lakkaa radioaktiivisen hiilen kerääntyminen siihen ja ko. hiili-isotoopin pitoisuus alkaa vähetä. Arkeologi löysi puuesineen, jonka -pitoisuus oli 75 % elävän puun pitoisuudesta. Kuinka vanha esine oli, kun tiedetään, että isotoopin puoliintumisaika on 5600 (v)?

Ratkaisu:

Muodostetaan ensin funktio, joka ilmoittaa -atomien määrän ajan (v) kuluttua. Olkoon radioaktiivisten hiiliatomien määrä aluksi . Ajan (v) kuluttua -atomien määrä on

 

Koska radioaktiivisten hiiliatomien määrä oli 75 % alkuperäisestä, saadaan esineen ikä selville, kun ratkaistaan yhtälöstä

 

Tämä on eksponenttiyhtälö, jonka ratkaisemiseksi aiemmin esitetty keino ei tepsi, sillä yhtälön molempia puolia ei osata kirjoittaa saman kantaluvun potensseina. Tällaisissa tilanteissa yhtälö saadaan ratkaistua, kun otetaan sen molemmin puolin samankantaiset, esim. luonnolliset logaritmit. Tämä on sallittua, koska yhtälön molemmat puolet ovat positiiviset (logaritmit määriteltyjä), ja logaritmifunktio on aidosti monotoninen (uusi yhtälö on yhtäpitävä eli ekvivalentti alkuperäisen kanssa).

 

Vastaus:   Esine on n. 2300 (v) vanha.

Harjoituksia

36.  Olkoon funktio . Laske

(a)

(b)

(c)

Vastaus tehtävään 36

37.  Ratkaise yhtälöt

(a)

(b)

(c)

Vastaus tehtävään 37

38.  Muovilevy pidättää 20 % siihen tulevasta valosta. Kuinka monta prosenttia valosta pääsee viiden päällekkäin asetetun levyn läpi?

Vastaus tehtävään 38

39.  Herra Lahtinen haluaa sijoittaa 45000 (mk) viideksi vuodeksi mahdollisimman tuottavasti. Hänellä on valittavanaan seuraavat vaihtoehdot.

(A) Sijoitetaan koko summa viideksi vuodeksi verottomalle tilille, jonka korkokanta on 2 (%/vuosi). Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua.

(B) Sijoitetaan koko summa viideksi vuodeksi verolliselle tilille, jonka korkokanta on 2,8 (%/vuosi). Korosta peritään jokaisen koronmaksun yhteydessä 28 % lähdeveroa. Tälläkin tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua.

(C) Ostetaan ogligaatioita viideksi vuodeksi 45000 (mk):n nimellisarvosta. Kyseinen obligaatiolaina maksetaan takaisin sijoittajalle maksamalla vuosittain 20 % lainan alkuperäisestä nimellisarvosta. Samalla maksetaan lähdeveron (28 %) alainen korko jäljellä olevalle lainalle. Obligaatioiden korkokanta on 5,2 (%/vuosi).

Laske kunkin sijoitusvaihtoehdon korkotuotto.

Vastaus tehtävään 39

40.  Tshernobylin ydinvoimalaonnettomuudessa 26.4.1986 vapautui radioaktiivisia cesium-isotooppeja ja . Niiden puoliintumisajat ovat 30 (v) ja 2,1 (v). Kuinka monta prosenttia ko. isotooppeja oli jäljellä vuoden 1997 huhtikuun lopulla?

Vastaus tehtävään 40

41.  Yrityksen myynti kasvaa vuosittain 4 %. Tällä hetkellä myynti on 285 (Mmk/v). Muodosta funktio, joka ilmoittaa vuosittaisen myynnin (v) kuluttua nykyhetkestä. Kuinka suuri myynti olisi viiden vuoden kuluttua? Entä kuinka suuri myynti oli 4 (v) sitten, kun oletetaan kasvun pysyneen koko ajan samanlaisena?

Vastaus tehtävään 41

42.  Laske

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Vastaus tehtävään 42

43.  Laske

(a)

(b)

(c)

Vastaus tehtävään 43

44.  Ratkaise yhtälöt

(a)

(b)

Vastaus tehtävään 44

45.  Ratkaise yhtälö .

Vastaus tehtävään 45

46.  Ydinonnettomuudessa vapautui radioaktiivista cesiumia , jonka puoliintumisaika on 30 (v). Mittauksissa todettiin cesiumpitoisuuden olevan kymmenkertainen verrattuna vaarattomana pidettyyn määrään. Kuinka pitkän ajan kuluttua pitoisuus alittaa kyseisen rajan?

Vastaus tehtävään 46

47.  Mari talletti 10000 (mk) verottomalle tilille, jonka korkokanta on 2 (%/vuosi). Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden kuluttua. Minkä ajan kuluttua tilin saldo ylittäisi ensimmäisen kerran 15000 (mk) olettaen, että tililtä ei nosteta tänä aikana varoja?

Vastaus tehtävään 47

48.  Jäihin pudonneen ihmisen kehon lämpötila (min) kuluttua putoamisesta on

 

(a) Mikä on kehon lämpötila viiden minuutin kuluttua putoamisesta?

(b) Milloin lämpötila on laskenut 27 :een?

Vastaus tehtävään 48

49.  Maanjäristyksen voimakkuutta kuvataan Richterin asteikolla. Jos järistyksestä vapautuvan energian määrä megawattitunteina (MWh) on , järistyksen voimakkuus richtereinä on . Keski-Italiaa vavisutti 3.10.1997 maanjäristys, jonka voimakkuudeksi mitattiin 4,7 richteriä. Laske järistyksessä vapautuneen energian määrä. Loviisan ydinvoimala tuottaa energiaa 880 (MWh/h). Kuinka suuressa ajassa se tuottaa saman energiamäärän kuin Keski-Italian järistys?

Vastaus tehtävään 49

50.  Työnnettäessä savolaismallinen vene sopivalla voimalla tyynelle järven selälle, riippuu veneen kulkema matka (m) ajasta (s) noudattaen seuraavaa funktiota

 

missä on ns. venevakio. Työntöhetkellä aika (s). Kun aikaa on kulunut 6,0 (s), vene on lipunut 10,0 (m).

(a) Kuinka pitkän matkan vene on kulkenut 20,0 (s):ssa?

(b) Milloin vene on kulkenut 24,0 (m)?

Vastaus tehtävään 50

51.  Pankkivirkailija löydettiin murhattuna klo 12.30 hyvin ilmastoidusta pankista. Ruumiin lämpötila oli löytöhetkellä 31,3 . Tiedetään, että ruumiin lämpötila noudattaa funktiota , missä on aika minuutteina murhahetkestä ja vakio Auta tapausta tutkivaa tarkastaja Kettunivaa ja laske, milloin murha oli tapahtunut.

Vastaus tehtävään 51