[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Eksponenttifunktion määritelmä

Eksponenttifunktio on muotoa

 

missä kantaluku ja se on vakio. Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla :n reaaliarvoilla, koska kantaluvun ollessa positiivinen voi eksponenttina olla mikä tahansa reaaliluku. Funktion monotonisuus riippuu kantaluvusta seuraavasti:

• Kun , eksponenttifunktio on aidosti kasvava.

• Kun , eksponenttifunktio on aidosti vähenevä.

Kummassakin tapauksessa eksponenttifunktion arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko .

Huom!

Jos kantaluku , eksponenttifunktio on vakio: .

Eksponenttifunktion monotonisuus

Eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, kun ja . Monotonisuuden nojalla eksponenttifunktiolle on voimassa

 

Esimerkki 4.20.

Ratkaise yhtälö

 

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 3 potensseina ja käytetään hyväksi funktion monotonisuutta.

 

Vastaus:   

Kun kantaluku , eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja se säilyttää järjestyksen. On siis voimassa

 

Esimerkki 4.21.

Ratkaise epäyhtälö .

Ratkaisu:

Kirjoitetaan epäyhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina ja käytetään hyväksi tietoa, että aidosti kasvavana funktiona säilyttää järjestyksen.

 

 

Vastaus:   

Kun kantaluvulle on voimassa , eksponenttifunktio aidosti vähenevänä funktiona kääntää järjestyksen, jolloin on voimassa

 

Esimerkki 4.22.

Ratkaise epäyhtälö .

Ratkaisu:

Kuten aiemmissakin esimerkeissä kirjoitetaan epäyhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina ja käytetään hyväksi eksponenttifunktion monotonisuutta.

 

Vastaus:   

Taskulaskimissa on yleensä valmiina eksponenttifunktiot ja , missä kantaluku on ns. Neperin luku. Se on irrationaaliluku, jonka likiarvo on 2,71828. Eksponenttifunktiota käytetään matemaattisena mallina kuvattaessa ilmiöitä, joissa yksikköä kohden laskettu kasvu- tai vähenemisnopeus on vakio. Jos siis suure tulee esim. 2- tai 5-kertaiseksi aina vakioajassa tai se kasvaa (vähenee) tietyn prosenttimäärän aina samassa ajassa, sen kasvamista (vähenemistä) voidaan kuvata eksponenttifunktiolla. Tällaisia ilmiöitä ovat esim. saldon kasvu tilillä, jonka korko pysyy vakiona, väestönkasvu, radioaktiivisen aineen hajoaminen, kappaleen jäähtyminen jne.

Esimerkki 4.23.

Talletetaan 2000 (mk) tilille, jonka korkokanta on 2 (%/vuosi) ja jolla korko liitetään pääomaan jatkuvasti (ei siis vuosittain tai puolivuosittain tai päivittäin). [ Jatkuva-aikaista korkolaskentaa tarvitaan jatkuva-aikaisten taloustieteen teorioiden muodostamiseen. Tietyllä logaritmimuunnoksella jatkuva-aikainen korkolaskenta saadaan vastaamaan tarkasti reaalimaailmassa käytettyä diskreettiä korkolaskentaa. ]

Tiedetään, että tilin saldo (mk) vuoden kuluttua talletuksesta noudattaa tällöin funktiota

 

Laske tilin saldo kolmen vuoden talletuksen jälkeen.

Ratkaisu:

Saldo on

 

Vastaus:   2123,67 (mk)

Esimerkki 4.24.

Lääketieteen varjoainekuvauksissa käytetään esim. fluorin radioaktiivista isotooppia . Aineesta hajoaa 32 % tunnissa. Potilaalle annettiin 2,8 (mg) ko. isotooppia. Muodosta funktio, joka ilmoittaa aineen määrän (h) kuluttua sen antamishetkestä laskettuna.

(a) Kuinka paljon ainetta on jäljellä 3 (h) kuluttua?

(b) Potilaan annos valmistettiin 45 (min) ennen sen antamista. Kuinka paljon se sisälsi ainetta?

Ratkaisu:

Koska aineesta hajoaa joka tunti 32 %, siitä jää jäljelle 68 %. Aineen määrä tulee siis joka tunti 0,68-kertaiseksi. Seuraava taulukko näyttää, kuinka radioaktiivisen fluorin määrä muuttuu ajan funktiona.

Olkoon radioaktiivisen fluorin antamishetkestä kulunut mielivaltainen aika (h). Tällöin antamishetkestä kuluneiden tuntien lukumäärä on . Radioaktiivisen fluorin määrän (h) kuluttua antamishetkestä ilmoittaa siten funktio .

(a) Aineen määrä 3 (h) kuluttua on

 

(b) Aineen määrä oli 45 (min) eli 0,75 (h) sitten (ajanhetkenä (h))

 

Vastaus:   (a) 0,88 (mg)   (b) 3,7 (mg)