4.5.2. Juurifunktio

Yleisten juurien määritelmät

Tarkastellaan yhtälöä

missä ja vakio .

• Kun on parillinen, yhtälöllä on ratkaisuja vain, kun . Kun , yhtälön ainoa ratkaisu on . Kun , yhtälöllä on kaksi ratkaisua, jotka ovat toistensa vastalukuja. Yhtälön ei-negatiivinen ratkaisu on luvun :s juuri, jota merkitään . Merkinnän luku on juurrettava ja juuren indeksi. Kun ja parillinen, yhtälön ratkaisut ovat .

• Kun on pariton, yhtälöllä on aina täsmälleen yksi ratkaisu, joka on luvun :s juuri .

Potenssiyhtälön ratkaisuja tarkastelemalla saatiin määritelmät ns. yleisille juurille.

• Kun , ja , parillinen juuri

• Kun , pariton juuri

Huom!

Parillinen juuri on määritelty ainoastaan ei-negatiivisilla luvuilla ja sen arvo on myös aina ei-negatiivinen. Pariton juuri on puolestaan määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Negatiivisen luvun pariton juuri on myös negatiivinen.

Esimerkki 4.9.

Laske (a) (b) (c)

Ratkaisu:

(a) , koska .

(b) , koska . On huomattava, että , vaikka , sillä määritelmän mukaan parillisen juuren arvo on aina positiivinen tai nolla.

Vastaus: Juurien arvot ovat (a) (b) 3 (c) 2

Esimerkki 4.10.

Tehtaan on vähennettävä rikkidioksidipäästönsä puoleen viiden seuraavan vuoden aikana. Kuinka monta prosenttia päästöjä on vähennettävä vuodessa (edellisen vuoden päästöistä), kun niitä on suunniteltu vähennettävän joka vuosi yhtä monta prosenttia?

Ratkaisu:

Olkoot nykyiset rikkidioksidipäästöt . Päästöjä vähennetään joka vuosi % edellisestä vuodesta. Lasketaan päästöt viiden vuoden kuluttua.

Asetetaan rikkidioksidipäästöt viiden vuoden kuluttua puoleen alkuperäisestä ja ratkaistaan saatu yhtälö.

Vastaus: Rikkidioksidipäästöjä on vähennettävä 12,9 (%/vuosi).

Esimerkki 4.11.

Sanotaan, että korkokannat ovat keskenään konformisia, jos niiden mukaan samasta pääomasta samassa ajassa lasketut kasvaneet pääomat ovat yhtäsuuret. Esimerkiksi korkokannat 3 (%/vuosi) ja 1,5 (%/6 kk) eivät ole keskenään konformisia jälkimmäisen tuottaessa vuodessa suuremman kasvaneen pääoman, koska puolen vuoden kuluttua korko tältä ajalta liitetään pääomaan ja tämä kasvanut pääoma kasvaa korkoa toisen vuosipuoliskon.

Määrää korkokannan 3 (%/vuosi) kanssa konforminen

(a) puolivuosittainen

(b) neljännesvuosittainen korkokanta.

Ratkaisu:

Seurataan aluksi pääoman kasvua ajan funktiona tilillä, jonka korkokanta (kasvuaste) on . Lasketaan kasvanut pääoma ajanhetkinä, jolloin korko liitetään pääomaan.

Kun talletetaan pääoma tilille, jonka korkokanta on , se on ajassa kasvanut pääomaksi

(a) Olkoon alkuperäinen pääoma (mk) ja kysytty puolivuosittainen korkokanta (%/6 kk). Asetetaan kummassakin tapauksessa yhden vuoden lopussa tilillä olevat pääomat yhtäsuuriksi ja ratkaistaan korkokanta (%/6 kk) saadusta yhtälöstä.

(b) Vuosittaisen 3 %:n korkokannan kanssa konforminen neljännesvuosittainen korkokanta määrätään samalla periaatteella.

Vastaus: Korkokannan 3 (%/vuosi) kanssa konformisia korkokantoja ovat (a) n. 1,4889 (%/6 kk) (b) n. 0,7417 (%/3 kk)

Juurien laskusääntöjä

Edellä määritellyille juurille on voimassa seuraavat laskusäännöt:

Säännöt ovat voimassa aina, kun ko. juuret ovat määriteltyjä.

Juurilausekkeet pyritään neliöjuurilausekkeiden tapaan sieventämään siten, että juurrettavaksi jäisi mahdollisimman pieni luku. Lisäksi juurilausekkeet pyritään laventamaan niin, että juurimerkkiä ei esiinny nimittäjässä.

Esimerkki 4.12.

Sievennä (a) (b) (c)