[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]


3.2.1. Yhtälöpari

Ensimmäisen asteen yhtälöpari muodostuu kahdesta suoran yhtälöstä:

 

Sen ratkaisun on toteutettava molemmat parin yhtälöt.

Yhtälöparin voi ratkaista graafisesti etsimällä suorien leikkauspisteen. Ensimmäisen asteen yhtälöparilla voi olla ratkaisuja yksi, ei yhtään tai äärettömän monta.

• Jos ratkaisuja on yksi, parin suorat leikkaavat yhdessä pisteessä.

• Jos yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua, sen suorat ovat yhdensuuntaiset ja erilliset.

• Jos ratkaisuja on äärettömän monta, parin yhtälöt esittävät samaa suoraa. Tällöin kaikki suoran pisteet ovat ratkaisuja.

Yhtälöparin voi ratkaista algebrallisesti kahdella eri tavalla. Seuraavassa esimerkissä esitellään nämä ratkaisutavat.

Esimerkki 3.5.

Ratkaise yhtälöpari

 

Ratkaisu:

Yhtälöparia ratkaistessa pyritään aina eliminoimaan toinen muuttujista, jotta saataisiin ratkaistavaksi yhden muuttujan yhtälö. Muuttuja voidaan eliminoida kahdella eri tavalla.

TAPA 1. Sijoituskeinossa ratkaistaan ensin toinen muuttuja toisen suhteen yhdestä parin yhtälöstä. Tämän jälkeen saatu tulos sijoitetaan ko. muuttujan paikalle toiseen parin yhtälöön, jolloin muodostuu yhden muuttujan yhtälö.

Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä , jolloin saadaan . Sijoitetaan tulos toiseen yhtälöön.

 

Kun , niin .

TAPA 2. Yhteenlaskukeinossa parin yhtälöt kerrotaan puolittain luvuilla, joilla toisen muuttujan kertoimiksi saadaan vastaluvut. Kun parin yhtälöt nyt lasketaan puolittain yhteen, jää ratkaistavaksi yhden muuttujan yhtälö.

Kerrotaan esimerkin ensimmäinen yhtälö luvulla 2, jolloin saadaan :n kertoimiksi vastaluvut.

 

Lasketaan saadut yhtälöt puolittain yhteen, jolloin saadaan , josta . Toistetaan menettely muuttujalle .

 

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan , josta .

Vastaus:   ,

Huom!

Edellä olisi voitu ratkaista myös sijoittamalla saatu :n arvo jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä.

Esimerkki 3.6.

Moottorivene kulkee myötävirtaan 10 (km) 50 minuutissa. Samassa virrassa se kulkee vastavirtaan 12 (km) 1,5 tunnissa. Mikä on veneen nopeus virrattomassa vedessä ja virran nopeus?

Ratkaisu:

Olkoon moottoriveneen nopeus virrattomassa vedessä (km/h) ja virran nopeus (km/h). Tällöin moottoriveneen todellinen nopeus myötävirtaan on (km/h) ja vastavirtaan (km/h). Koska , on alkutietojen perusteella oltava voimassa

 

Ratkaistaan yhtälöpari yhteenlaskukeinoa käyttäen.

 

 

Kun lasketaan yhtälöparin yhtälöt yhteen, saadaan , josta (km/h). Sijoittamalla tulos yllä olevaan yhtälöön saadaan (km/h).

Vastaus:   Moottoriveneen nopeus on 10 (km/h) ja virran nopeus 2 (km/h).


[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]