[Etusivu] [Sisällysluettelo] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

---

Kulmakerroin

Suoran suunnan (jyrkkyyden) ilmoittaa sen kulmakerroin . Jos

• , suora on nouseva.

• , suora on laskeva.

• , suora on vaakasuora.

Pisteiden ja kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

 

Huom!

Edellä käytettiin koordinaattien muutokselle merkintää . Jatkossa -merkinnällä ilmaistaan erilaisia muutoksia.

Kahden tunnetun pisteen ja kautta kulkevan suoran yhtälö saadaan, kun sijoitetaan suoran kulmakerroin yhtälöön ja valitaan tunnetuksi pisteeksi esim. . Pisteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälö on siten

 

Esimerkki 3.2.

Määrää pisteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu:

Lasketaan suoran kulmakerroin.

 

Määrätään suoran yhtälö kulmakertoimen ja pisteen avulla.

 

Vastaus:   

Esimerkki 3.3.

Marokkoon matkustava pariskunta vaihtaa 4200 Suomen mk:n matkakassastaan osan USA:n dollareiksi kurssiin ja loput ranskan frangeiksi kurssiin . Muodosta yhtälö, joka sitoo saatujen dollarien ja frangien määrät toisiinsa. [ Valuuttakurssi ilmoittaa, kuinka paljon yksi ulkomaan rahayksikkö on kotimaan rahana. Suomessa kuten useimmissa muissa maissa on käytössä ns. suora noteeraus, joka osoittaa, paljonko yksi ulkomaan rahayksikkö on kotimaan rahana. Toinen vaihtoehto on esim. Englannissa käytössä oleva ns. epäsuora noteeraus, joka ilmoittaa, kuinka paljon yksi kotimaan rahayksikkö on ulkomaan rahana. Esimerkin valuuttakurssit ovat päivän 23.9.1997 setelimyyntikursseja. ]

Ratkaisu:

Oletetaan, että pariskunta saa valuutanvaihdossa (USD) ja (FRF). Niiden yhteishinta Suomen markoissa on (FIM). Koska pariskunnan matkakassa oli 4200 (FIM), on oltava voimassa , josta ratkaisemalla saadaan

 

Saatujen valuuttojen määrät riippuvat toisistaan suoraviivaisesti. Jos vaihdossa halutaan esim. 500 (USD), saadaan lopulla rahalla Ranskan frangeja

 

Vastaus:   Saatujen Ranskan frangien määrän (FRF) riippuvuuden saatujen USA:n dollarien määrästä (USD) ilmoittaa suoran yhtälö

 

Suuntakulma.

Suoran suunnan ilmoittaa myös sen suuntakulma , joka on suoran ja positiivisen -akselin muodostama kulma. Suuntakulma ja se on positiivinen, kun suora on nouseva, ja negatiivinen, kun suora on laskeva.

Suoran suuntakulman ja sen kulmakertoimen välinen yhteys on

 

Huom!

Jos suoran yhtälö on muotoa , missä , suora on -akselin suuntainen ja sen suuntakulma on eikä siitä voida sanoa, onko se nouseva vai laskeva. Tällä suoralla ei ole kulmakerrointa, sillä yhtälön mukaan suoran jokaisen pisteen -koordinaatti on sama, ja kulmakertoimen määrityksessä nimittäjäksi tulisi nolla.

Esimerkki 3.4.

Suora kulkee pisteiden ja kautta. Määrää suoran yhtälö. Mikä on suoran suuntakulma?

Ratkaisu:

Suoran yhtälö on

 

Koska suoran kulmakerroin

 

suoran suuntakulma saadaan ratkaisemalla yhtälö

 

josta .

Vastaus:   Suoran yhtälö on ja sen suuntakulma on .

Suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus

Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun niillä on sama kulmakerroin. Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun niiden kulmakertoimien tulo on . Kohtisuoruusehdon todistaminen edellyttää vektoriopin tuntemista, joten se sivuutetaan tällä kurssilla.

Harjoituksia

1.  Määrää pisteiden ja kautta kulkevan suoran kulmakerroin ja suuntakulma.

Vastaus tehtävään 1

2.  Määrää vakio siten, että pisteiden ja kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen pisteiden ja kautta kulkevan suoran kanssa.

Vastaus tehtävään 2

3.  Määrää yhtälö sille pisteen kautta kulkevalle suoralle, joka on

(a) -akselin

(b) -akselin

(c) suoran suuntainen.

Vastaus tehtävään 3

4.  Pisteen kautta kulkeva suora muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion, jonka ala on 10. Mikä on suoran yhtälö?

Vastaus tehtävään 4

5.  Määrää sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen kautta ja on kohtisuorassa suoraa vastaan.

Vastaus tehtävään 5

6.  Millä vakion arvoilla suorat ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Piirrä koordinaatistoon nämä suorat.

Vastaus tehtävään 6

7.  Määrää luku siten, että piste on pisteiden ja kautta kulkevalla suoralla.

Vastaus tehtävään 7

8.  Harri lähti pyöräilemään kesämökille 2 (h) Riitan jälkeen. Riitan pyöräilynopeus on 18 (km/h) ja Harrin 27 (km/h). Mökille on matkaa 75 (km). Piirrä koordinaatistoon suorat, joista näkee kummankin kulkeman matkan käytetyn ajan funktiona. Tavoittaako Harri Riitan, ja jos tavoittaa niin milloin? Ehtiikö mökille ensimmäisenä ennättänyt lämmittää saunan ennen toisen saapumista, kun saunan lämpiäminen kestää 30 (min)?

Vastaus tehtävään 8

9.  Kustantaja on havainnut erään yliopiston pääsykoekirjan menekin riippuvan lineaarisesti edellisenä keväänä ylioppilastutkinnon suorittaneiden määrästä. Tiedetään, että kun tutkinnon suorittaneita oli 27400 (kpl), niin kirjojen menekki oli 2350 (kpl), ja kun tutkintoja oli 31300 (kpl), kirjoja myytiin 2790 (kpl). Muodosta sen suoran yhtälö, joka kuvaa pääsykoekirjojen menekin riippuvuutta suoritetuista yo-tutkinnoista. Kuinka suuri tämän mukaan on pääsykoekirjojen kysyntä, jos keväällä valmistuu 35000 uutta ylioppilasta?

Vastaus tehtävään 9

10.  Autovuokraamo Juha perii perusmaksua 250 (mk), joka sisältää 200 (km). Tämän yli menevältä kilometrimäärältä se perii 2,30 (mk/km). Vuokraamo Eskon perusmaksu on 200 (mk) sisältäen 200 (km) ja tämän yli menevältä matkalta se veloittaa 2,70 (mk/km). Piirrä samaan koordinaatistoon kuvaajat, joilta näkee vuokraamojen kokonaishinnat matkan funktiona. Kuinka pitkä pitäisi matkan olla, jotta olisi edullisempaa vuokrata Juhalta?

Vastaus tehtävään 10