[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Korkeamman asteen yhtälö voidaan aina sieventää muotoon , missä
on vähintään kolmatta astetta oleva polynomi. Polynomifunktio on muotoa
Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön. Yhtälön vasemman puolen polynomi jaetaan tekijöihin eli se kirjoitetaan korkeintaan toista astetta olevien polynomien tulona. Tämän jälkeen käytetään tulon nollasääntöä: tulo on nolla, jos ja vain jos jokin sen tekijöistä on nolla.
Ryhmitellään polynomin termejä siten, että vasen puoli saadaan tulomuotoon.
Korkeamman asteen yhtälön ratkaisemisen vaikein vaihe on polynomin jakaminen tekijöihin. Edellisen esimerkin kaltainen ryhmittely ei useinkaan onnistu. Polynomi voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jos ne tunnetaan. Jos on
:nnen asteen polynomin
reaalinen nollakohta, jolloin , niin
missä on polynomi, jonka asteluku on
. Toinen tekijäpolynomi
löydetään jakamalla polynomi
binomilla
esim. jakokulmassa. Jos
:nnen asteen polynomilla
on
nollakohtaa
, niin
Polynomilla, jonka asteluku on , on enintään
reaalista nollakohtaa, joten
:nnen asteen yhtälöllä
on korkeintaan
reaalijuurta.
Korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen tarvittu polynomin jakaminen tekijöihin vaatii siis ainakin yhden nollakohdan löytämistä. Nollakohdan voi onnistua löytämään arvaamalla tai kokeilemalla. Polynomin rationaalisten nollakohtien etsimistä helpottaa seuraava tulos:
Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä
on rationaalinen ratkaisu , niin osoittaja
on vakiotermin
tekijä ja nimittäjä
on korkeimman asteen termin kertoimen
tekijä.
Tulos sopii myös murtolukukertoimisen yhtälön rationaaliratkaisujen etsimiseen. Kun yhtälöstä poistetaan nimittäjät kertomalla se nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, saadaan alkuperäisen kanssa yhtäpitävä kokonaislukukertoiminen yhtälö.
Kirjoitetaan yhtälö ensin perusmuotoon :
Jaetaan polynomi tekijöihin etsimällä ensin kokeilemalla yksi yhtälön ratkaisu. Vakiotermin 2 tekijät ovat ja kolmannen asteen termin kertoimen 1 tekijät
. Mahdolliset rationaalijuuret ovat siten
. Kokeilemalla juuriehdokkaita yhtälöön todetaan, että
on yksi polynomin nollakohta, sillä
Yksi polynomin tekijä on siten . Suoritetaan jakolasku
Jakolaskun perusteella yhtälö voidaan esittää muodossa
Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännöllä.
Jaettaessa polynomia tekijällä
jako menee aina tasan, jos
on polynomin
nollakohta eli
.
Eräs erikoistapaus korkeamman asteen yhtälöstä on ns. bikvadraattinen yhtälö. Se on neljännen asteen yhtälö, josta puuttuvat ensimmäisen ja kolmannen asteen termit. Tällainen yhtälö voidaan ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen yhtälö.
Sijoitetaan yhtälöön apumuuttuja , jolloin saadaan tämän suhteen toisen asteen yhtälö.
Palataan takaisin muuttujaan .
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on olemassa myös omat ratkaisukaavat, mutta ne ovat monimutkaisia. Sen sijaan vähintään viidettä astetta oleville yhtälöille ei voida muodostaa yleisiä ratkaisukaavoja. Tämän todisti norjalainen matemaatikko Niels Abel(1802-1829) 1800-luvun alkupuolella. Jos korkeamman asteen yhtälö ei ratkea kokeiluun ja jaollisuuteen perustuvalla menetelmällä, on tyydyttävä joko graafisesti tai numeerisesti saatuihin likiarvoihin.