2.4.1. Korkeamman asteen yhtälö

Korkeamman asteen yhtälö voidaan aina sieventää muotoon , missä on vähintään kolmatta astetta oleva polynomi. Polynomifunktio on muotoa

Jos , polynomin asteluku on .

Korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön. Yhtälön vasemman puolen polynomi jaetaan tekijöihin eli se kirjoitetaan korkeintaan toista astetta olevien polynomien tulona. Tämän jälkeen käytetään tulon nollasääntöä: tulo on nolla, jos ja vain jos jokin sen tekijöistä on nolla.

Esimerkki 2.14.

Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Ryhmitellään polynomin termejä siten, että vasen puoli saadaan tulomuotoon.

Vastaus:    tai .

Korkeamman asteen yhtälön ratkaisemisen vaikein vaihe on polynomin jakaminen tekijöihin. Edellisen esimerkin kaltainen ryhmittely ei useinkaan onnistu. Polynomi voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jos ne tunnetaan. Jos on :nnen asteen polynomin

reaalinen nollakohta, jolloin , niin

missä on polynomi, jonka asteluku on . Toinen tekijäpolynomi löydetään jakamalla polynomi binomilla esim. jakokulmassa. Jos :nnen asteen polynomilla on nollakohtaa , niin

Polynomilla, jonka asteluku on , on enintään reaalista nollakohtaa, joten :nnen asteen yhtälöllä on korkeintaan reaalijuurta.

Korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen tarvittu polynomin jakaminen tekijöihin vaatii siis ainakin yhden nollakohdan löytämistä. Nollakohdan voi onnistua löytämään arvaamalla tai kokeilemalla. Polynomin rationaalisten nollakohtien etsimistä helpottaa seuraava tulos:

Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä

on rationaalinen ratkaisu , niin osoittaja on vakiotermin tekijä ja nimittäjä on korkeimman asteen termin kertoimen tekijä.

Huom!

Tulos sopii myös murtolukukertoimisen yhtälön rationaaliratkaisujen etsimiseen. Kun yhtälöstä poistetaan nimittäjät kertomalla se nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, saadaan alkuperäisen kanssa yhtäpitävä kokonaislukukertoiminen yhtälö.

Esimerkki 2.15.

Ratkaise yhtälö

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälö ensin perusmuotoon :

Jaetaan polynomi tekijöihin etsimällä ensin kokeilemalla yksi yhtälön ratkaisu. Vakiotermin 2 tekijät ovat ja kolmannen asteen termin kertoimen 1 tekijät . Mahdolliset rationaalijuuret ovat siten . Kokeilemalla juuriehdokkaita yhtälöön todetaan, että on yksi polynomin nollakohta, sillä

Yksi polynomin tekijä on siten . Suoritetaan jakolasku

Jakolaskun perusteella yhtälö voidaan esittää muodossa

Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännöllä.

Vastaus:    tai

Huom!

Jaettaessa polynomia tekijällä jako menee aina tasan, jos on polynomin nollakohta eli .

Eräs erikoistapaus korkeamman asteen yhtälöstä on ns. bikvadraattinen yhtälö. Se on neljännen asteen yhtälö, josta puuttuvat ensimmäisen ja kolmannen asteen termit. Tällainen yhtälö voidaan ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen yhtälö.

Esimerkki 2.16.

Ratkaise yhtälö .

Ratkaisu:

Sijoitetaan yhtälöön apumuuttuja , jolloin saadaan tämän suhteen toisen asteen yhtälö.

Palataan takaisin muuttujaan .

Vastaus:   

Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on olemassa myös omat ratkaisukaavat, mutta ne ovat monimutkaisia. Sen sijaan vähintään viidettä astetta oleville yhtälöille ei voida muodostaa yleisiä ratkaisukaavoja. Tämän todisti norjalainen matemaatikko Niels Abel(1802-1829) 1800-luvun alkupuolella. Jos korkeamman asteen yhtälö ei ratkea kokeiluun ja jaollisuuteen perustuvalla menetelmällä, on tyydyttävä joko graafisesti tai numeerisesti saatuihin likiarvoihin.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]