2.3.2. Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälö voidaan aina sieventää muotoon

missä merkin < tilalla voi olla mikä tahansa muu epäyhtälömerkki.

Toisen asteen epäyhtälön ratkaisu perustuu sen geometriseen tulkintaan. Epäyhtälön toisella puolella esiintyvän toisen asteen polynomifunktion

kuvaaja on paraabeli . Paraabelin aukeamissuunnan määrää toisen asteen termin kerroin seuraavasti:

• Jos , paraabeli aukeaa ylöspäin.

• Jos , paraabeli aukeaa alaspäin.

Toisen asteen epäyhtälöä ratkaistaessa selvitetään ensin vastaavan paraabelin aukeamissuunta sekä paraabelin ja -akselin leikkauskohdat ratkaisemalla vastaava yhtälö. Ratkaisu päätellään näiden tietojen perusteella.

Esimerkki 2.11.

Ratkaise epäyhtälö .

Ratkaisu:

Ratkaistaan ensin vastaava yhtälö.

Paraabeli leikkaa -akselin kohdissa ja ja aukeaa ylöspäin. Epäyhtälö toteutuu nollakohdissa ja niiden välissä.

Vastaus:   

Esimerkki 2.12.

Ratkaise epäyhtälö .

Ratkaisu:

Määrätään vastaavan toisen asteen polynomifunktion nollakohdat:

Koska yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja ja funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, sijaitsee paraabeli kokonaan -akselin alapuolella. Epäyhtälö toteutuu kaikilla :n reaaliarvoilla.

Vastaus:   

Esimerkki 2.13.

Yrityksen tuotantokustannukset (mk) riippuvat tuotantomäärästä (kpl) noudattaen funktiota:

Yrityksen tulot (mk) tuotantomäärän funktiona ovat

Millä tuotantomäärillä yrityksen toiminta on kannattavaa?

Ratkaisu:

Toiminta on kannattavaa, kun tulot ovat kustannuksia suuremmat.

Määrätään vastaavan yhtälön ratkaisut.

Koska vastaava paraabeli aukeaa ylöspäin, funktio saa positiivisia arvoja nollakohtien ulkopuolella. Valitaan näistä kustannusfunktion määrittelyvälille kuuluvat ratkaisut.

Vastaus:   Toiminta on kannattavaa, kun .

Huom!

Edellisen esimerkin funktioiden ja määrittelyssä esiintyvät vakiot eivät ole reaalilukuja vaan dimensionaalisia vakioita eli jokaisella on oma mittayksikkö. Jos ne olisivat pelkkiä lukuja, kustannusfunktion polynomin termejä ei voisi laskea yhteen, koska niillä olisi eri mittayksiköt. Toisaalta tulojen yksiköksi ei tulisi tällöin (mk) vaan (kpl).

Määrätään kustannus- ja tulofunktion vakioiden mittayksiköt. Koska vain samandimensioisia suureita voidaan laskea yhteen, kustannusfunktion jokaisen termin mittayksikön on oltava (mk). Merkitään vakion mittayksikköä :llä. Jotta kustannusfunktion ensimmäisen termin yksikkö olisi (mk), on mittayksiköiden välillä oltava voimassa seuraava yhtälö

Muiden vakioiden mittayksiköt saadaan vastaavasti. Kustannusfunktio on siten täydellisesti esitettynä

ja tulofunktio

Mittayksiköiden määrittäminen auttaa myös tulkitsemaan funktioissa esiintyvät vakiot. Kertyneestä tuotantomäärästä riippuva kustannusfunktio on yleisesti muotoa

missä on tuotannon aloittamiskustannukset ja funktio esittää kertyneestä tuotantomäärästä riippuvia yksikkökustannuksia. Esimerkin kustannusfunktio

,

joten tuotannon aloittamiskustannukset ovat nyt 14000 (mk) ja kertyneestä tuotannon määrästä riippuvat yksikkökustannukset ilmoittaa ensimmäisen asteen polynomifunktio

jonka vakiotermi 51 (mk/kpl) ilmoittaa hyödykkeen valmistuksesta aiheutuvat yksikkökustannukset maksimissaan ja kertyneen tuotantomäärän kerroin (vastaavan suoran kulmakerroin) osoittaa, miten yksikkökustannukset pienenevät tuotantomäärän kasvaessa. Kertoimen negatiivinen etumerkki selittyy oppimisella: kertyneen tuotantomäärän kasvaminen alentaa yksikkökustannuksia, koska tuotetta osataan valmistaa tehokkaammin.

Koska mittayksiköiden esittäminen funktion määritelmässä usein hankaloittaa varsinaisen asian ymmärtämistä tekemällä lausekkeet sekaviksi, jatkossa ne toisinaan jätetään selvyyden vuoksi pois. Lukijan kannattaa kuitenkin aina selvittää vakioiden mittayksiköt, jotta hän osaisi tulkita ne oikein.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]