2.1.1. Yhtälö

Yhden muuttujan yhtälö on muotoa , missä ja ovat joitakin funktioita. Yhtälöä ratkaistaessa haetaan ne :n arvot, joilla em. yhtäsuuruus on voimassa. Yhtälön ratkaisuja kutsutaan yhtälön juuriksi.

Yhtälöä ratkaistaessa voidaan sen lausekkeita sieventää. Tämän lisäksi voidaan yhtälön molempiin puoliin kohdistaa sama toimenpide, joka muuttaa yhtälön kummankin puolen arvoja samalla tavalla eikä muuta yhtälön ratkaisuja.

Koska reaaliluvuille on voimassa seuraavat laskusäännöt:

(1)   ja

(2)  

voidaan yhtälöä ratkaistaessa

(1)   lisätä yhtälön molemmille puolille sama luku ja

(2)   kertoa yhtälön molemmat puolet samalla nollasta eroavalla luvulla

Geometrisesti tulkittuna yhtälön ratkaiseminen merkitsee funktioiden ja kuvaajien leikkauskohtien etsimistä. Kun yhtälön kummallekin puolelle lisätään termi , se saadaan muotoon . Siten yhtälön ratkaiseminen voidaan tulkita myös funktion kuvaajan ja -akselin leikkauskohtien etsimiseksi. Jos käytettävissä on graafinen laskin tai sopiva matemaattinen grafiikkaohjelma, yhtälön likimääräistä ratkaisua voidaan etsiä sen kuvaajaa tarkastelemalla.

Jos yhtälön ratkaiseminen ei onnistu algebrallisesti eli laskemalla, eikä käytettävissä ole graafiseen ratkaisuun tarvittavaa laitetta, voi yhtälön ratkaista myös numeerisesti. Eri numeeriset menetelmät poikkeavat toisistaan sekä tarvittavien alkutietojen että toimintaperiaatteen suhteen. Yleisimmät yhtälön likimääräiseen ratkaisuun käytetyt numeeriset menetelmät ovat haarukointi, Newtonin menetelmä ja sekanttimenetelmä. Tällä kurssilla ko. menetelmien tarkempi esittely sivuutetaan. Käytännössä myös numeeriset menetelmät vaativat avuksi esim. ohjelmoitavan laskimen tai tietokoneen. Ohjelmoitaviin laskimiin on yleensä jo valmiiksi ohjelmoitu joitakin yhtälöiden numeerisia ratkaisualgoritmeja.

[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]