[edellinen] [sisällys] [seuraava]
2.2. Jaksolliset suoritukset
Tässä osiossa tarkastellaan tilanteita, joissa yhtäsuuret maksut suoritetaan tasavälein. Opetellaan laskemaan näiden suoritusten yhteinen arvo korkoineen haluttuna ajanhetkenä. Jaksollisiin suorituksiin liittyvät laskentamenetelmät perustuvat päättyviin lukujonoihin ja niiden summiin. Kertaa tarvittaessa aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja summa ennen opiskelun aloittamista. Koska tämä osio on pohjimmiltaan vain lukujonojen soveltamista, keskitytään tarkastelemaan jaksollisiin suorituksiin liittyviä laskelmia esimerkkien avulla.
2.2.1. Jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo
Harjoitellaan ensin esimerkkien avulla määräämään tasavälein suoritettujen yhtäsuurien maksujen yhteinen lopuarvo.
Esimerkki 2.7.
Matti tallettaa kuuden peräkkäisen vuoden ajan jokaisen vuoden lopussa 700 euroa verottomalle tilille, jonka korkokanta on 2 %/vuosi. Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Kuinka paljon tilillä on rahaa korkoineen viimeisen talletuksen tapahduttua?
Havainnollistakoon seuraava kuvio tilannetta.
Määrätään ensin kunkin talletuksen arvo (kasvanut pääoma) kuudennen vuoden lopussa.
5. talletus: 
(kasvanut korkoa vuoden)
4. talletus: 
(kasvanut korkoa 2 vuotta)
3. talletus: 
(kasvanut korkoa 3 vuotta)
2. talletus: 
(kasvanut korkoa 4 vuotta)
1. talletus: 
(kasvanut korkoa 5 vuotta)
Talletuksista muodostuneet kasvaneet pääomat muodostavat päättyvän 6-jäsenisen geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on 700 euroa ja kahden peräkkäisen jäsenen suhdeluku 1,02. Tästä syystä näiden jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo on geometrinen summa, jossa
(1. yhteenlaskettava),
(suhdeluku) ja
(termien lukumäärä).Talletusten yhteinen loppuarvo on geometrisen summan kaavan avulla
Oppimistehtävä 2.8.
Liisa talletti neljänä peräkkäisenä vuonna jokaisen vuoden alussa 350 euroa tilille, jonka lähdeverollinen korkokanta oli 1,75 %/vuosi. Kuinka paljon tilille kertyi rahaa korkoineen neljännen vuoden loppuun mennessä, kun lähdevero oli koko ajan 29 %? Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Muistutus: laske ensin tilin nettokorkokanta.
Edellisissä esimerkeissä suoritus tapahtui aina joko korkojakson alussa tai lopussa. Maksuja saatetaan suorittaa myös korkojakson aikana useita kertoja. Korko liitetään pääomaan kuitenkin vasta korkojakson lopussa. Tälloin korkojakson aikana kertyneet korot on laskettava yksinkertaisen korkolaskun avulla. Jos tätä tapahtuu usean korkojakson ajan, katsotaan jaksolliseksi suoritukseksi jakson aikana kertyneiden maksujen ja niiden korkojen summa, joka suoritetaaan korkojakson lopussa. Tarkastellaan tilannetta jälleen esimerkkien avulla.
Esimerkki 2.9.
Äiti tallettaa 17 vuoden ajan kunkin kuukauden lopussa 90 euroa tilille, jonka lähdeverollinen korkokanta on 1,25 %/vuosi. Kuinka paljon tilillä on rahaa korkoineen 17. vuoden lopussa? Tilillä korko liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. Oletetaan, että tilin korkokanta ja lähdevero pysyvät muuttumattomina.
.
Lasketaan, kuinka paljon vuoden aikana tehdyt talletukset kasvavat yhteensä korkoa. Tarkastellaan aluksi erikseen kunkin kuukauden talletusta. Tammikuun talletus kasvaa korkoa 11 kuukautta, helmikuun talletus 10 kuukautta jne. Talletuksille vuoden loppuun mennessä kertynyt korko voidaan laskea miettimällä, kuinka monta korkokuukautta kaikkiaan kertyy 90 euron talletukselle. Korkokuukausien määrä on yhteensä
Yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka ensimmäinen jäsen on 11, kahden peräkkäisen jäsenen erotus -1 ja termien lukumäärä 12. Niiden summa on aritmeettisen summan kaavalla ensimmäisen ja viimeisen termin keskiarvo kerrottuna yhteenlaskettavien lukumäärällä eli
Lasketaan sitten jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo 17. vuoden lopussa, kun jokaisen vuoden lopussa suoritetaan 17 vuoden ajan 1084,393125 euron suuruinen talletus. Määrätään ensin kunkin talletuksen arvo (kasvanut pääoma) 17. vuoden lopussa.
16. talletus: 
(kasvanut korkoa vuoden)
(kasvanut korkoa 2 vuotta)
(kasvanut korkoa 3 vuotta)
1. talletus: 
(kasvanut korkoa 16 vuotta)
Talletuksista muodostuneet kasvaneet pääomat muodostavat päättyvän 17-jäsenisen geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on 1084,393125 euroa ja kahden peräkkäisen jäsenen suhdeluku 1,008875. Tästä syystä näiden jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo on geometrinen summa, jossa
(1. yhteenlaskettava),
(suhdeluku) ja
(termien lukumäärä).Talletusten yhteinen loppuarvo on geometrisen summan kaavan avulla
Oppimistehtävä 2.10.
Veli-Matti talletti viiden peräkkäisen vuoden ajan aina maalis-, kesä-, syys-, ja joulukuun lopussa 670 euroa tilille, jonka lähdeverollinen korkokanta oli 2,25 %/vuosi. Tilillä korko liitettiin pääomaan aina vuoden lopussa. Kuinka paljon tilillä oli rahaa korkoineen viidennen vuoden lopussa, kun lähdevero oli koko ajan 29 %?
2.2.2. Jaksollisten suoritusten yhteinen alkuarvo
Esimerkiksi erilaisia jaksollisia suorituksia vertailtaessa halutaan usein määrittää jaksollisten suoritusten yhteinen alkuarvo tietyllä alkuhetkellä. Tulos ilmoittaa, minkä summan suorittaminen alkehetkellä on samanarvoinen jaksollisten suoritusten kanssa vallitsevan korkokannan mukaan. Jaksollisten suoritusten yhteinen alkuarvo lasketaan määräämällä ensin niiden yhteinen loppuarvo (esimerkiksi viimeisen maksun suoritushetkellä) ja diskonttaamalla tämä alkuhetkeen. Suoritusten yhteisen loppuarvon diskonttaaminen alkuhetkeen tarkoittaa sen summan määrittämistä, joka vallitsevan korkokannan mukaan kasvaa loppuarvon määrityshetkeen mennessä loppuarvon suuruiseksi. Tätä opiskeltiin koronkorkolaskennan alkuperäisen pääoman määrittämistä käsittelevässä osiossa 2.1.2 (s. 24). Tarkastellaan ongelmaa jälleen esimerkkien avulla.
Esimerkki 2.11.
Yritys on sopinut maksavansa hankkimansa laitteiston seuraavasti: kaupantekohetkellä maksetaan 80000 euroa ja tämän jälkeen kuuden vuoden ajan 80000 euroa vuoden välein niin, että ensimmäinen maksu on vuoden kuluttua kaupantekohetkestä. Mitä kaupantekohetkellä maksettua yhteissummaa nämä jaksolliset suoritukset vastaavat eli mikä on kauppasumman käteisarvo, kun laskentakorkokanta on 8,5 %/vuosi?
Lasketaan näiden seitsemän jaksollisen suorituksen yhteinen loppuarvo. Määrätään aluksi kunkin suorituksen arvo (kasvanut pääoma) viimeisen suorituksen maksuhetkellä 6 vuoden kuluttua kaupantekohetkestä.
6. suoritus: 
(kasvanut korkoa vuoden)
5. suoritus: 
(kasvanut korkoa 2 vuotta)
1. suoritus: 
(kasvanut korkoa 6 vuotta)
Suorituksista muodostuneet kasvaneet pääomat muodostavat päättyvän 7-jäsenisen geometrisen jonon, jonka ensimmäinen jäsen on 80000 euroa ja kahden peräkkäisen jäsenen suhdeluku 1,085. Tästä syystä näiden jaksollisten suoritusten yhteinen loppuarvo on geometrinen summa, jossa
(1. yhteenlaskettava),
(suhdeluku) ja
(termien lukumäärä).Suoritusten yhteinen loppuarvo on geometrisen summan kaavan avulla
Diskontataan tämä summa kaupantekohetkeen eli lasketaan, mikä alkuperäinen pääoma kasvaa kuuden vuoden aikana 8,5 %:n vuotuisen korkokannan mukaan 724839,76 euroksi. Tuo alkuperäinen pääoma on osiossa 2.1.2 (s. 24) johdetun tuloksen perusteella
On samanarvoista suorittaa kaupantekohetkellä 444286,97 euroa tai kaupantekohetkellä 80000 euroa ja tämän jälkeen 6 vuoden ajan vuoden välein 80000 euroa tai suorittaa 724839,76 euroa 6 vuoden kuluttua kaupantekohetkestä.
Edellisen esimerkin kauppasumman käteisarvon voi laskea monella muullakin tavalla. Voit esimerkiksi laskea erikseen jokaisen suorituksen alkuarvon kaupantekohetkellä ja laskea nämä yhteen. Toinen tapa on laskea erikseen kuuden jälkikäteen suoritettavan maksun loppuarvo ja diskontata se kaupantekohetkeen ja lisätä näin saatuun alkuperäiseen pääomaan kaupantekohetkellä suoritettava summa. Laske tämä esimerkki näillä kaikilla tavoilla esimerkiksi taulukkolaskentaohjelmalla, niin saat lisäharjoitusta tässä luvussa opetetuista asioista.
Oppimistehtävä 2.12.
Otto on päättänyt sijoittaa viitenä peräkkäisenä vuonna jokaisen vuoden lopussa 1850 euroa lähdeverolliselle tilille, jonka korkokanta on 2,25 %/vuosi. Mikä summa pitäisi tilille sijoittaa heti ensimmäisen vuoden alussa, jotta se antaisi saman kasvaneen pääoman? Lähdevero on koko ajan 29 %.